Question

【題目】 拋物線與軸交于點（在的左側(cè)），與軸交于點.

⑴求直線的解析式；

⑵拋物線的對稱軸上存在點，使，利用圖求點的坐標；

⑶點在軸右側(cè)的拋物線上，利用圖比較與的大小，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x+3；（2）（1，2+2）或（1，﹣2﹣2）,（3）當Q點橫坐標為5時，∠OCA=∠OCQ；當Q點橫坐標大于5時，則∠OCQ逐漸變小，故∠OCA＞∠OCQ；當Q點橫坐標小于5且大于0時，則∠OCQ逐漸變大，故∠OCA＜∠OCQ．.

【解析】

試題分析：．（1）由拋物線解析式可求得B、C的坐標，利用待定系數(shù)法可求得直線BC的解析式；

（2）由直線BC解析式可知∠APB=∠ABC=45°，設(shè)拋物線對稱軸交直線BC于點D，交x軸于點E，結(jié)合二次函數(shù)的對稱性可求得PD=BD，在Rt△BDE中可求得BD，則可求得PE的長，可求得P點坐標；

（3）設(shè)Q（x，﹣x2+2x+3），當∠OCQ=∠OCA時，利用兩角的正切值相等可得到關(guān)于x的方程，可求得Q點的橫坐標，再結(jié)合圖形可比較兩角的大�。�

試題解析：（1）在y=﹣x2+2x+3中，令y=0可得0=﹣x2+2x+3，解得x=﹣1或x=3，令x=0可得y=3，

∴B（3，0），C（0，3），∴可設(shè)直線BC的解析式為y=kx+3，

把B點坐標代入可得3k+3=0，解得k=﹣1，∴直線BC解析式為y=﹣x+3；

（2）∵OB=OC，∴∠ABC=45°，

∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴拋物線對稱軸為x=1，

設(shè)拋物線對稱軸交直線BC于點D，交x軸于點E，當點P在x軸上方時，如圖1，

∵∠APB=∠ABC=45°，且PA=PB，

∴∠PBA=，∠DPB=∠APB=22.5°，

∴∠PBD=67.5°﹣45°=22.5°，∴∠DPB=∠DBP，∴DP=DB，

在Rt△BDE中，BE=DE=2，由勾股定理可求得BD=2，

∴PE=2+2，∴P（1，2+2）；

當點P在x軸下方時，由對稱性可知P點坐標為（1，﹣2﹣2）；

綜上可知P點坐標為（1，2+2）或（1，﹣2﹣2）；

（3）設(shè)Q（x，﹣x2+2x+3），當點Q在x軸下方時，如圖2，過Q作QF⊥y軸于點F，

當∠OCA=∠OCQ時，則△QEC∽△AOC，

∴，即，解得x=0（舍去）或x=5，

∴當Q點橫坐標為5時，∠OCA=∠OCQ；

當Q點橫坐標大于5時，則∠OCQ逐漸變小，故∠OCA＞∠OCQ；

當Q點橫坐標小于5且大于0時，則∠OCQ逐漸變大，故∠OCA＜∠OCQ．