Question

如圖1，點C、B分別為拋物線C₁：y₁=x²+1，拋物線C₂：y₂=a₂x²+b₂x+c₂的頂點．分別過點B、C作x軸的平行線，交拋物線C₁、C₂于點A、D，且AB=BD．

1.求點A的坐標：

2.如圖2，若將拋物線C₁：“y₁=x²+1”改為拋物線“y₁=2x²+b₁x+c₁”．其他條件不變，求CD的長和a₂的值；

3.如圖2，若將拋物線C₁：“y₁=x²+1”改為拋物線“y₁=4x²+b₁x+c₁”，其他條件不變，求b₁+b₂的值　2　（直接寫結果）．

 

Answer 1

 

1.如圖，連接AC、BC，設直線AB交y軸于點E，

∵AB∥x軸，CD∥x軸，C、B為拋物線C₁、C₂的頂點，

∴AC=BC，BC=BD，

∵AB=BD，

∴AC=BC=AB，

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠ACE=30°，

設AE=m，

則CE=AE=m，

∵y₁=x²+1，

∴點C的坐標為（0，1），

∴點A的坐標為（﹣m，1+m），

∵點A在拋物線C₁上，

∴（﹣m）²+1=1+m，

整理得m²﹣m=0，

解得m₁=，m₂=0（舍去），

∴點A的坐標為（﹣，4）；（3分）

2.如圖2，連接AC、BC，過點C作CE⊥AB于點E，

設拋物線y₁=2x²+b₁x+c₁=2（x﹣h₁）²+k₁，

∴點C的坐標為（h₁，k₁），

設AE=m，

∴CE=m，

∴點A的坐標為（h₁﹣m，k₁+m），

∵點A在拋物線y₁=2（x﹣h₁）²+k₁上，

∴2（h₁﹣m﹣h₁）²+k₁=k₁+m，

整理得，2m²=m，

解得m₁=，m₂=0（舍去），

由（1）同理可得，CD=BD=BC=AB，

∵AB=2AE=，

∴CD=，

即CD的長為，

根據(jù)題意得，CE=BC=×=，

∴點B的坐標為（h₁+，k₁+），

又∵點B是拋物線C₂的頂點，

∴y₂=a₂（x﹣h₁﹣）²+k₁+，

∵拋物線C₂過點C（h₁，k₁），

∴a₂（h₁﹣h₁﹣）²+k₁+=k₁，

整理得a₂=﹣，

解得a₂=﹣2，

即a₂的值為﹣2；（3分）

3.根據(jù)（2）的結論，a₂=﹣a₁，

CD=﹣﹣（﹣）=+=，

根據(jù)（1）（2）的求解，CD=2×，

∴b₁+b₂=2．（4分）

解析:（1）連接AC、BC，根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性可得AC=BC，BC=BD，再根據(jù)已知條件AB=BD，可以證明得到△ABC是等邊三角形，所以∠ACE=30°，然后設AE=m，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出CE的長，再根據(jù)拋物線C₁：y₁=x²+1求出點C的坐標，從而表示出點A的坐標，然后把點A的坐標代入拋物線C₁的解析式，然后解關于m的一元二次方程求出m的值，代入即可得到點A的坐標；

（2）過點C作CE⊥AB于點E，設拋物線y₁=2x²+b₁x+c₁=2（x﹣h₁）²+k₁，然后表示出C的坐標，再設AE=m，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出CE的長度，從而得到點A的坐標，把點A的坐標代入拋物線C₁，整理后解關于m的一元二次方程，再根據(jù)（1）的結論即可求出CD的長；根據(jù)CD的長求出CE的長度，然后表示出點B的坐標，根據(jù)點B在是拋物線C₂的頂點，從而得到拋物線C₂的頂點式解析式，然后根據(jù)點C在拋物線C₂上，把點C的坐標代入拋物線C₂的解析式，整理求解即可得到a₂的值；

（3）根據(jù)（1）（2）的結論可知，a₂=﹣a₁，然后利用兩拋物線的對稱軸表示出CD的長度，再根據(jù)（1）（2）的求解過程可得CD=2×，然后代入進行計算即可得解．