Question

11．如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在BA邊上以每秒5cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在CB邊上以每秒4cm的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜2），連接PQ．
（1）若△BPQ與△ABC相似，求t的值；
（2）求△BPQ的面積y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△BPQ的面積y有最大值，最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股定理求出AB，分△BPQ∽△BAC、△BPQ∽△BCA兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可；
（2）作PE⊥BC于E，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，用t表示出PE，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可；
（3）把二次函數(shù)的一般式化為頂點(diǎn)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10，
當(dāng)△BPQ∽△BAC時(shí)，$\frac{BP}{BA}$=$\frac{BQ}{BC}$，即$\frac{5t}{10}$=$\frac{8-4t}{8}$，
解得t=1，
當(dāng)△BPQ∽△BCA時(shí)，$\frac{BP}{BC}$=$\frac{BQ}{BA}$，即$\frac{5t}{8}$=$\frac{8-4t}{10}$，
解得，t=$\frac{32}{41}$，
∴當(dāng)t=1或t=$\frac{32}{41}$時(shí)，△BPQ與△ABC相似；
（2）作PE⊥BC于E，
則△BPE∽△BAC，
∴$\frac{BP}{BA}$=$\frac{PE}{AC}$，即$\frac{5t}{10}$=$\frac{PE}{6}$，
解得，PE=3t，
∴y=$\frac{1}{2}$×（8-4t）×3t=-6t²+12t；
（3）y=-6t²+12t=-6（t-1）²+6，
∴t=1，y最大值為6．

點(diǎn)評 本題考查的是相似三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理、熟記二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．