【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn),已知點(diǎn)A(﹣3,0),B(0,m),C(1,0).
(1)求m值;
(2)設(shè)點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A、B重合).
①過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線,垂足為F,交直線AB于點(diǎn)E,作PD⊥AB于點(diǎn)D.動(dòng)點(diǎn)P在什么位置時(shí),△PDE的周長(zhǎng)最大,求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo);
②連接AP,并以AP為邊作等腰直角△APQ,當(dāng)頂點(diǎn)Q恰好落在拋物線的對(duì)稱軸上時(shí),求出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P坐標(biāo).
【答案】(1)m的值為3;(2)①點(diǎn)P坐標(biāo)為(﹣,);②點(diǎn)P的坐標(biāo)為()、(﹣1﹣,2)、(﹣2,3)
【解析】
(1)只需把點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入y=﹣x2+bx+c,就可求出拋物線的解析式,就可求出m的值.
(2)①易得△PDE是等腰直角三角形,PE最大時(shí)△PDE的周長(zhǎng)就最大.用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a,則點(diǎn)E的橫坐標(biāo)也為a,則點(diǎn)P、E的縱坐標(biāo)就可用a的代數(shù)式表示,PE的長(zhǎng)度也就可以用a的代數(shù)式表示,然后運(yùn)用二次函數(shù)的最值性就可求出PE最大(即△PDE的周長(zhǎng)最大)時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo).
②等腰直角△APQ的三邊都可能是底邊,故分三種情況進(jìn)行討論,然后構(gòu)造全等三角形,得到相等線段,然后用一個(gè)字母表示一條線段,從而將點(diǎn)P的坐標(biāo)用該字母表示,然后代入拋物線的解析式,就可求出點(diǎn)P的坐標(biāo).
(1)∵拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(﹣3,0),C(1,0),∴.
解得:,∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3.
∵點(diǎn)B(0,m)在拋物線y=﹣x2﹣2x+3上,∴m=3,∴m的值為3.
(2)①如圖1.
∵OA=OB=3,∠AOB=90°,∴∠AB0=45°.
∵PF⊥OA,PD⊥AB,∴∠PDA=∠EFA=90°=∠AOB,∴EF∥OB,∴∠PED=∠ABO=45°,∴PD=PEsin45°PE,DE=PEcos45°PE,∴△PDE的周長(zhǎng)為(1)PE.
設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n,則有.
解得:,∴直線AB的解析式為y=x+3.
設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a,則點(diǎn)E的橫坐標(biāo)也為a,∴yP=﹣a2﹣2a+3,yE=a+3,∴PE=yP﹣yE=(﹣a2﹣2a+3)﹣(a+3)=﹣a2﹣3a=﹣(a)2.
∵﹣1<0,∴當(dāng)a時(shí),PE取到最大值,△PDE的周長(zhǎng)也就取到最大值.
此時(shí)yP=﹣()2﹣2×()+3,∴當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為()時(shí),△PDE的周長(zhǎng)取到最大值.
②Ⅰ.若AQ為等腰直角△APQ的底邊,如圖2,則有AP=PQ,∠APQ=90°.
過(guò)點(diǎn)P作PG⊥OA,垂足為G,過(guò)點(diǎn)P作PT⊥QH,垂足為T.
∵∠PGH=∠GHT=PTH=90°,∴四邊形PGHT是矩形,∴∠GPT=90°,PT=GH,PG=HT,∴∠APG=90°﹣∠GPQ=∠TPQ.
在△AGP和△QTP中,,∴△AGP≌△QTP,∴AG=TQ,PG=PT,∴PG=GH.
∵拋物線y=﹣x2﹣2x+3的對(duì)稱軸為x1,∴OH=1.
設(shè)PG=t(t>0),則OG=GH+OH=PG+OH=t+1.
∵點(diǎn)P在第二象限,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣t﹣1,t).
∵點(diǎn)P在拋物線y=﹣x2﹣2x+3上,∴t=﹣(﹣t﹣1)2﹣2(﹣t﹣1)+3.
整理得:t2+t﹣4=0.
解得:t1(舍去),t2,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為().
Ⅱ.若PQ為等腰直角△APQ的底邊,如圖3,則有AP=AQ,∠PAQ=90°.
過(guò)點(diǎn)P作PG⊥OA,垂足為G,則有∠APG=90°﹣∠PAG=∠HAQ.
在△AGP和△QHA中,,∴△AGP≌△QHA,∴PG=AH.
∵AH=AO﹣OH=3﹣1=2,∴PG=2,∴yP=2.
解﹣x2﹣2x+3=2得:x1=﹣1,x2=﹣1.
∵點(diǎn)P在第二象限,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣1,2).
Ⅲ.若AP為等腰直角△APQ的底邊,如圖4,則有AQ=PQ,∠AQP=90°.
過(guò)點(diǎn)P作PT⊥QH,垂足為T,則有∠AQH=90°﹣∠PQT=∠TPQ.
在△AHQ和△QTP中,∵∠AQH=∠TPQ,∠AHQ=∠QTP,QA=QP,∴△AHQ≌△QTP,∴AH=QT,QH=PT.
∵AH=2,∴QT=2.
設(shè)QH=PT=p(p>0),則TH=p+2.
∵點(diǎn)P在第二象限,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣p﹣1,p+2).
∵點(diǎn)P在拋物線y=﹣x2﹣2x+3上,∴p+2=﹣(﹣p﹣1)2﹣2×(﹣p﹣1)+3.
整理得:p2+p﹣2=0.
解得:p1=﹣2(舍去),p2=1,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣2,3).
綜上所述:點(diǎn)P的坐標(biāo)為()、(﹣1,2)、(﹣2,3).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知第一象限內(nèi)的點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=的圖象上,第二象限內(nèi)的點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=的圖象上,且OA⊥OB,cosA=,則k的值為( )
A. -3 B. -4 C. - D. -2
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【題目】如圖,AB=AC,CD⊥AB于點(diǎn)D,點(diǎn)O是∠BAC的平分線上一點(diǎn),⊙O與AB相切于點(diǎn)M,與CD相切于點(diǎn)N
(1)求證:∠AOC=135°;
(2)若NC=3,BC=2,求DM的長(zhǎng).
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【題目】開(kāi)口向下的拋物線y=a(x+1)(x-9)與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,若∠ACB=90°,則a的值為________.
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【題目】如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2cm,D為BC的中點(diǎn),若動(dòng)點(diǎn)E以1cm/s的速度從A點(diǎn)出發(fā),沿著A→B→A的方向運(yùn)動(dòng),設(shè)E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,連接DE,當(dāng)△BDE是直角三角形時(shí),t的值______________.
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【題目】某校為了調(diào)查八年級(jí)學(xué)生參加“乒乓”、“籃球”、“足球”、“排球”四項(xiàng)體育活動(dòng)的人數(shù),學(xué)校從八年級(jí)隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,根據(jù)調(diào)查結(jié)果制作了如下不完整的統(tǒng)計(jì)表、統(tǒng)計(jì)圖:
類別 | 頻數(shù)(人數(shù)) | 頻率 |
乒乓 | a | 0.3 |
籃球 | 20 | |
足球 | 15 | b |
排球 | ||
合計(jì) | c | 1 |
請(qǐng)你根據(jù)以上信息解答下列各題:
(1)a= ;b= ;c= ;
(2)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,排球所對(duì)應(yīng)的圓心角是 度;
(3)若該校八年級(jí)共有600名學(xué)生,試估計(jì)該校八年級(jí)喜歡足球的人數(shù)?.
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【題目】如圖,字母S由兩條圓弧KL、MN和線段LM組成,這兩條圓弧每一條都是一個(gè)半徑為1的圓的圓周的,線段LM與兩個(gè)圓相切.K和N分別是兩個(gè)圓的切點(diǎn),則線段LM的長(zhǎng)為_________.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=4.若動(dòng)點(diǎn)D在線段AC上(不與點(diǎn)A、C重合),過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC交AB邊于點(diǎn)E.點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)F,以FC為半徑作⊙C,當(dāng)DE=_______時(shí),⊙C與直線AB相切.
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(1)下列分式中,屬于“和諧分式”的是_____(填序號(hào));
①;②;③;④;
(2)將“和諧分式”化成一個(gè)整式與一個(gè)分子為常數(shù)的分式的和的形式為:=_______(要寫(xiě)出變形過(guò)程);
(3)應(yīng)用:先化簡(jiǎn),并求x取什么整數(shù)時(shí),該式的值為整數(shù).
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