Question

【題目】在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，點M是線段BC的中點，點N在射線MB上，連接AN，平移△ABN，使點N移動到點M，得到△DEM（點D與點A對應，點E與點B對應），DM交AC于點P．

（1）若點N是線段MB的中點，如圖1．

①依題意補全圖1；

②求DP的長；

（2）若點N在線段MB的延長線上，射線DM與射線AB交于點Q，若MQ＝DP，求CE的長．

Answer 1

【答案】（1）①見解析，②；（2）2﹣2

【解析】

（1）利用平移的性質畫出圖形，再利用相似得出比例式，即可求出線段DP的長；

（2）根據(jù)條件MQ＝DP，利用平行四邊形的性質和相似三角形的性質，求出BN的長即可解決．

解：（1）①如圖1，補全圖形：

②連接AD，如圖1，

在Rt△ABN中，

∵∠B＝90°，AB＝4，BN＝1，

∴AN＝，

∵線段AN平移得到線段DM，

∴DM＝AN＝，

由平移可得，AD＝NM＝1，AD∥MC，

∴△ADP∽△CMP，

∴，

∴DP＝DM＝；

（2）如圖2，連接NQ，

由平移知：AN∥DM，且AN＝DM，

∵MQ＝DP，

∴PQ＝DM，

∴AN∥PQ，且AN＝PQ，

∴四邊形ANQP是平行四邊形，

∴NQ∥AP，

∴∠BQN＝∠BAC＝45°，

又∵∠NBQ＝∠ABC＝90°，

∴BN＝BQ，

∵AN∥MQ，

∴,

又∵M是BC的中點，且AB＝BC＝4，

∴,

∴NB＝2 或-2 （舍去），

∴ME＝BN＝2，

∴CE＝2﹣2．