Question

【題目】已知Rt△OAB，∠OAB=90o，∠ABO=30o，斜邊OB=4，將Rt△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60o，如圖1，連接BC．

(1)ΔOBC的形狀是 ；

(2)如圖1，連接AC，作OP⊥AC，垂足為P，求OP的長(zhǎng)度；

(3)如圖2，點(diǎn)M、N同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，在△OCB邊上運(yùn)動(dòng)，M沿O→C→B路徑勻速運(yùn)動(dòng)，N沿O→B→C路徑勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩點(diǎn)相遇時(shí)運(yùn)動(dòng)停止.已知點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)速度為1.5單位/秒，點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度為1單位/秒.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，△OMN的面積為y，求當(dāng)x為何值時(shí)y取得最大值？最大值為多少？(結(jié)果可保留根號(hào)) ．

Answer 1

【答案】(1)等邊三角形；(2) ；(3) 時(shí)，y有最大值，

【解析】

（1）根據(jù)有一個(gè)角為60o的等腰三角形為等邊三角形便可判斷．

（2）先計(jì)算出OA、AB長(zhǎng)度，利用面積法便可求出OP．

（3）分三種情況討論，當(dāng)0＜x≤時(shí)，點(diǎn)N作NE⊥OC，計(jì)算NE，便可找到面積的最值；當(dāng)＜x≤4時(shí)，作MH⊥OB于H．計(jì)算BM=8﹣1.5x，MH的值，便可找到面積的最值；當(dāng)＜x≤4時(shí)，作OG⊥BC于G．MN=12﹣2.5x，OG的值，便可計(jì)算面積最值．

（1）等邊三角形

Rt△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60o

∴OB=OC ∠BOC=60°

∴ΔOBC的形狀為等邊三角形．

(2)∵OB=4，∠ABO=30°，∴OA= OB=2，AB= OA=2，

∴S△AOC= OAAB=×2×2=2，

∵△BOC是等邊三角形，∴∠OBC=60°，∠ABC=∠ABO+∠OBC=90°，

∴AC= =2，∴OP= ．

(3)①當(dāng)0＜x≤時(shí)，M在OC上運(yùn)動(dòng)，N在OB上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)過(guò)點(diǎn)N作NE⊥OC且交OC于點(diǎn)E．則NE=ONsin60°= ，∴S△OMN= OMNE= ×1.5·，∴．

∴ 時(shí)，y有最大值，．

②當(dāng)＜x≤4時(shí)，M在BC上運(yùn)動(dòng)，N在OB上運(yùn)動(dòng)．

作MH⊥OB于H．則BM=8﹣1.5x，MH=BMsin60°= ，

∴y= ×ON·MH=．當(dāng)時(shí)，y取最大值，，

③當(dāng)4＜x≤4.8時(shí)，M、N都在BC上運(yùn)動(dòng)，作OG⊥BC于G．

MN=12﹣2.5x，OG=AB=2，∴y= MNOG=12 ，

當(dāng)x=4時(shí)，y有最大值，，綜上所述，y有最大值，．