Question

1．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BD是⊙O的直徑，AE⊥CD，垂足為E，DA平分∠BDE．
（1）求證：AE是⊙O的切線；
（2）若∠DBC=30°，DE=1cm，求BD的長．
（3）AE=4，BD=10，求CD的長度．

Answer 1

分析 （1）連接OA，根據(jù)角之間的互余關(guān)系可得∠OAE=∠DEA=90°，故AE⊥OA，即AE是⊙O的切線；
（2）根據(jù)圓周角定理，可得在Rt△AED中，∠AED=90°，∠EAD=30°，有AD=2DE；在Rt△ABD中，∠BAD=90°，∠ABD=30°，有BD=2AD=4DE，即可得出答案；
（3）先利用三個角是直角的四邊形是矩形，得出OF=AE=4，再用勾股定理求出DF即可得出CD．

解答 （1）證明：連接OA，
∵DA平分∠BDE，
∴∠BDA=∠EDA．
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠OAD=∠EDA，
∴OA∥CE．
∵AE⊥CE，
∴AE⊥OA．
∴AE是⊙O的切線．

（2）解：∵BD是直徑，
∴∠BCD=∠BAD=90°．
∵∠DBC=30°，∠BDC=60°，
∴∠BDE=120°．
∵DA平分∠BDE，
∴∠BDA=∠EDA=60°．
∴∠ABD=∠EAD=30°．
∵在Rt△AED中，∠AED=90°，∠EAD=30°，
∴AD=2DE．
∵在Rt△ABD中，∠BAD=90°，∠ABD=30°，
∴BD=2AD=4DE．
∵DE的長是1cm，
∴BD的長是4cm．

（3）解：如圖2，連接OA，過O點作OF垂直CD于F，
∴∠OFE=90°，CD=2DF，
∵AE是⊙O的切線．
∴∠OAE=90°，
∵AE⊥CD，
∴∠AED=90°，
∴∠OFE=∠OAE=∠AED=90°，
∴四邊形OAEF是矩形，
∴OF=AE=4，
在Rt△ODF中，OD=$\frac{1}{2}$BD=5，
∴DF=$\sqrt{O{D}^{2}-O{F}^{2}}$=3
∴CD=2DF=6．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了切線的判定，角平分線的性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造出直角三角形是解本題的關(guān)鍵，是一道中等難度的中考�？碱}．