Question

18．如圖1，直線y=-x+3分別與y軸，x軸交于A，C兩點(diǎn)，以O(shè)A，OC為邊作矩形OABC，E是邊OC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)O，C重合）．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）如圖2，將直線AE繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°與過E點(diǎn)垂直于AE的直線交于點(diǎn)D，若直線AD的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+3，求直線DE的解析式；
（3）如圖3，將線段AE繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得線段AF，連接EF，M為線段EF的中點(diǎn)，求$\frac{MB}{EC}$的值．

Answer 1

分析 （1）由直線AC的解析式即可得出點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，再根據(jù)矩形的性質(zhì)即可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）在圖2中，過點(diǎn)D作DG⊥x軸，垂足為G，根據(jù)全等三角形的判定定理（AAS）可證出△AEO≌△EGD，由全等三角形的性質(zhì)可得出EG=AO=3，OE=DG，從而得出點(diǎn)D、E的坐標(biāo)，再結(jié)合點(diǎn)D、E的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線DE的解析式；
（3）在圖3中連接FB，根據(jù)全等三角形的判定定理（SAS）即可證出△OAE≌△BAF，設(shè)E（a，0）（0＜a＜3），M（m，n），由此可得出點(diǎn)F的坐標(biāo)，再由點(diǎn)M為為EF的中點(diǎn)由此可用含a的代數(shù)式表示出m、n，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出線段MB的長(zhǎng)度與BC做商即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵x=0時(shí)，y=-x+3=3，
∴點(diǎn)A（0，3），
同理可得點(diǎn)C（3，0），
∵四邊形OABC是矩形，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，3）．
（2）在圖2中，過點(diǎn)D作DG⊥x軸，垂足為G，則∠DGE=90°，
∵AE⊥ED，
∴∠AED=90°，
∵∠EAD=45°，
∴∠ADE=45°，
∴AE=ED．
∵∠OAE+∠OEA=90°，∠OEA+∠GED=90°，
∴∠OAE=∠GED．
在△AEO和△EGD中，有$\left\{\begin{array}{l}{∠OAE=∠GED}\\{∠AOE=∠EGD=90°}\\{AE=ED}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△EGD（AAS），
∴EG=AO=3，OE=DG．
設(shè)D（t，-$\frac{1}{2}$t+3），則t-（-$\frac{1}{2}$t+3）=3，解得t=4，
∴D（4，1），E（1，0）．
設(shè)直線DE的解析式為y=kx+b，
將D，E兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=1}\\{k+b=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{3}}\\{b=-\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線DE的解析式為y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{1}{3}$．
（3）在圖3中連接FB．
∵∠OAE+∠EAB=90°，∠EAB+∠BAF=90°，
∴∠OAE=∠BAF．
在△OAE和△BAF中，有$\left\{\begin{array}{l}{OA=BA}\\{∠OAE=∠BAF}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴△OAE≌△BAF（SAS），
∴BF=OE，∠ABF=∠AOE=90°，
∴F，B，C三點(diǎn)共線，
設(shè)E（a，0）（0＜a＜3），則EC=3-a，
由（1）知B（3，3），
∴F（3，3+a）．
設(shè)M（m，n），
∵點(diǎn)M為EF的中點(diǎn)，
∴m=$\frac{3+a}{2}$，n=$\frac{3+a}{2}$．
∴MB=$\sqrt{（m-3）^{2}+（n-3）^{2}}$=$\sqrt{（\frac{3+a}{2}-3）^{2}+（\frac{3+a}{2}-3）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（3-a），
∴$\frac{MB}{EC}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}（3-a）}{3-a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、全等三角形的判定及性質(zhì)以及兩點(diǎn)間的距離公式，解題的關(guān)鍵是：（1）求出點(diǎn)A、C的坐標(biāo)；（2）求出點(diǎn)DE的坐標(biāo)；（3）找出線段MB和線段EC的長(zhǎng)度．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)找出相等的邊角關(guān)系是關(guān)鍵．