Question

9．已知一元二次方程x²-2mx+m²+m-1=0，其中m為常數(shù)．
（1）若該一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍m≤1；
（2）當(dāng)m變化時(shí)，設(shè)拋物線y=x²-2mx+m²+m-1頂點(diǎn)為M，點(diǎn)N的坐標(biāo)為N（3，0），請求出線段MN長度的最小值；
（3）設(shè)y=x²-2mx+m²+m-1與直線y=x交于不同的兩點(diǎn)A、B，則m變化時(shí)，線段AB的長度是否發(fā)生變化？若不變，請求出AB的長；若變化，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)元二次方程有實(shí)數(shù)根，△≥0即可解決．
（2）根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題解決．
（3）利用方程組求出（X₁-X₂）²=（y₁-y₂）²=5，再根據(jù)兩點(diǎn)距離公式即可解決．

解答 解：（1）∵一元二次方程有實(shí)數(shù)根，
∴△≥0，
∴4m²-4m²-4m+4≥0
∴m≤1，
故答案為m≤1．
（2）∵y=x²-2mx+m²+m-1=（x-m）²+m-1，
∴頂點(diǎn)為M（m，m-1），
∵N（3，0），
∴MN²=（m-3）²+（m-1）²=2m²-8m+10=2（m-2）²+2，
∴m=2時(shí)，MN²的最小值為2，
∴MN的最小值為$\sqrt{2}$．
（3）AB的長度不變，AB=$\sqrt{10}$，理由如下：
設(shè)A（x₁，y₁0，B（X₂，Y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y={x}^{2}-2mx+{m}^{2}+m-1}\end{array}\right.$消去y得x²-（2m+1）x+m²+m-1=0，
∴（X₁-X₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（2m+1）²-4（m²+m-1）=5，
∵y=x，
∴（y₁-y₂）²=5，
∴AB=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴AB的長度不變，AB=$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評 本題考查一元二次方程的根的判別式、二次函數(shù)的最值問題、兩點(diǎn)的距離公式、根與系數(shù)的關(guān)系等知識，靈活運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．