Question

【題目】如圖1，將兩個(gè)完全相同的三角形紙片和重合放置，其中，．

（1）操作發(fā)現(xiàn)

如圖2，固定，使繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)恰好落在邊上時(shí)，填空：

①線段與的位置關(guān)系是______；

②設(shè)的面積為，的面積為，則與的數(shù)量關(guān)系是______

（2）猜想論證

當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí)，小明猜想1．中與的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別作出了和中、邊上的高，請你證明小明的猜想．

（3）拓展探究

已知∠ABC=60°，點(diǎn)是角平分線上一點(diǎn)，，交于點(diǎn)(如圖4)．若在射線上存在點(diǎn)，使，請求出相應(yīng)的的長．

Answer 1

【答案】（1）操作發(fā)現(xiàn)：①DE∥AC；②=；（2）猜想論證：=仍然成立，證明見解析；（3）拓展探究：=或

【解析】

（1）操作發(fā)現(xiàn)：①根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求出∠EDC，然后證出△CAD為等邊三角形可得∠DCA=60°，從而得出∠EDC=∠DCA，然后根據(jù)平行線的判定即可得出結(jié)論；

②根據(jù)平行線之間的距離處處相等和同底等高可得S△DAC=，然后根據(jù)30°所對的直角邊是斜邊的一半和等邊三角形的性質(zhì)可得點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，從而證出S△DAC=，即可得出結(jié)論；

（2）猜想論證：利用AAS證出△ACN≌△DCM，即可得出AN=DM，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得EC=BC，然后根據(jù)兩個(gè)三角形等底等高即可得出結(jié)論；

（3）拓展探究：延長CD交AB于點(diǎn)H，過點(diǎn)E作EG⊥BD于G，利用30°所對的直角邊是斜邊的一半和勾股定理分別求出BH和GE，然后根據(jù)點(diǎn)F的位置分類討論，根據(jù)兩個(gè)三角形的面積相等、底相等那么高也相等即可求出FH，從而分別求出BF的長

解：（1）操作發(fā)現(xiàn)：①DE∥AC，理由如下：

∵，．

∴∠BAC=90°－∠B=60°，∠EDC=90°－∠DEC=60°

∵點(diǎn)恰好落在邊上時(shí)，

∴CA=CD

∴△CAD為等邊三角形

∴∠DCA=60°

∴∠EDC=∠DCA

∴DE∥AC

故答案為：DE∥AC．

②=，理由如下

∵DE∥AC

根據(jù)平行線之間的距離處處相等

∴S△DAC=

在Rt△ABC中，∠B=30°

∴AB=2AC

∵△CAD為等邊三角形

∴AC=AD

∴AB=2AD

∴點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)

∴S△DAC=

∴=

故答案為：=．

（2）猜想論證：=仍然成立，證明如下

∵AN、DM分別是△ACE、△BCD邊上的高

∴∠ANC=∠DMC=90°

∵∠ACN＋∠NCB=90°，∠DCM＋∠NCB=90°

∴∠ACN=∠DCM

在△ACN和△DCM中

∴△ACN≌△DCM

∴AN=DM

∵EC=BC

∴△ACE和△BCD等底等高

∴=

（3）拓展探究：延長CD交AB于點(diǎn)H，過點(diǎn)E作EG⊥BD于G，

∵∠ABC=60°，點(diǎn)是角平分線上一點(diǎn)，，

∴∠HBD=∠CBD=∠ABC=30°

∵

∴∠DCB=∠DBC=30°

∴∠BHC=180°－∠HBC－∠DCB=90°

在Rt△BDH中，HD=，BH=

∵

∴∠EDB=∠HBD=30°

∴∠EBD=∠EDB

∴EB=ED

∴BG==2

在Rt△BEG中，設(shè)GE=x，BE=2GE=2x

根據(jù)勾股定理可得：GE2＋BG2=BE2

即x 2＋22=（2x）2

解得：x=

∴GE=

（i）當(dāng)點(diǎn)F在線段BH上時(shí)，

∵，

∴FH=GE=

∴BF=BH－FH=；

（ii）當(dāng)在線段BH的延長線上時(shí)

同理可得H= GE=

∴B=BH＋H=

綜上所述：=或