Question

如圖所示，拋物線y=-（x-m）²的頂點(diǎn)為A，其中m＞0．
（1）已知直線l：y=

3

x，將直線l沿x軸向

 

（填“左”或“右”）平移

 

個(gè)單位（用含m的代數(shù)式）后過點(diǎn)A；
（2）設(shè)直線l平移后與y軸的交點(diǎn)為B，若動(dòng)點(diǎn)Q在拋物線對(duì)稱軸上，問在對(duì)稱軸左側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使以P、Q、A為頂點(diǎn)的三角形與△OAB相似，且相似比為2？若存在，求出m的值，并寫出所有符合上述條件的P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）若經(jīng)過點(diǎn)A，需經(jīng)過（m，0），由圖中可以看出應(yīng)向右平移m個(gè)單位；
（2）求得平移后相應(yīng)的直線解析式以及與y軸的交點(diǎn)，易得△OAB的2直角邊的比為

3

：1，那么以P、Q、A為頂點(diǎn)的三角形的兩直角邊的比也為

3

：1，分點(diǎn)Q處和點(diǎn)P處為直角求得相應(yīng)用m表示的坐標(biāo)，代入二次函數(shù)解析式求得相應(yīng)值即可．

解答：解：（1）直線l：y=

3

x，將直線l沿x軸向右平移m個(gè)單位后過點(diǎn)A；

（2）由題意點(diǎn)A（m，0），
將其代入y=

3

x+b，
得b=-

3

m（3分）
∴此時(shí)直線l的解析式：
y=

3

x-

3

m，點(diǎn)B（0，-

3

m），
以P、Q、A為頂點(diǎn)的三角形與△OAB相似，且相似比為2，共有以下四種情況，
①∠PQA=90°，
當(dāng)

PQ

AO

=

AQ

BO

=2時(shí)
可得AQ=2

3

m，PQ=2m
∴P(m-2

3

m，-2m)，
代入拋物線解析式得：
-2m=-(m-2

3

m-m)2，m＞0
解得m=

1

6

∴P(

1-2 3

6

，-

1

3

)
②∠PQA=90°，
當(dāng)

PQ

AO

=

AQ

BO

=2時(shí)
可得PQ=2m，AQ=2

3

m
∴P(m-2m，-2

3

m)，
代入拋物線解析式得：
-2

3

m=-(m-2m-m)2，m＞0，
解得m=

3

2

∴P(-

3

2

，-3)
③∠QPA=90°，
當(dāng)

PQ

AO

=

AQ

BO

=2時(shí)，
可得PQ=2m，AP=2

3

m，
過P作PH⊥AQ于H，則PH=

3

m，AH=3m，
∴P(m-

3

m，-3m)，
代入拋物線解析式得：-3m=-(m-

3

m-m)2，m＞0
解得m=1
∴P(1-

3

，-3)
④∠QPA=90°，
當(dāng)

PQ

BO

=

AP

AO

=2時(shí)，
可得PQ=2

3

m，AP=2m，
過P作PH⊥AQ于H，則PH=

3

m，AH=m，
∴P(m-

3

m，-m)，
代入拋物線解析式得：
-m=-(m-

3

m-m)2，m＞0
解得m=

1

3

∴P(

1- 3

3

，-

1

3

)
綜上，符合條件的點(diǎn)共有四個(gè)：（

1-2 3

6

，-

1

3

），（-

3

2

，-3），（1-

3

，-3），（

1- 3

3

，-

1

3

）．

點(diǎn)評(píng)：用到的知識(shí)點(diǎn)為：相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，關(guān)鍵是得到原直角三角形的特性，注意分情況進(jìn)行討論．