Question

【題目】如圖，矩形OABC的邊OA在x軸正半軸上，邊OC在y軸正半軸上，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，3）．矩形O′A′BC′是矩形OABC繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的．O′點(diǎn)恰好在x軸的正半軸上，O′C′交AB于點(diǎn)D．

（1）求點(diǎn)O′的坐標(biāo)，并判斷△O′DB的形狀（要說(shuō)明理由）
（2）求邊C′O′所在直線的解析式．
（3）延長(zhǎng)BA到M使AM=1，在（2）中求得的直線上是否存在點(diǎn)P，使得△POM是以線段OM為直角邊的直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖，連接OB，O′B，則OB=O′B，

∵四邊形OABC是矩形，

∴BA⊥OA，

∴AO=AO′，

∵B點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，3），

∴OA=1，

∴AO′=1，

∴點(diǎn)O′的坐標(biāo)是（2，0），

△O′DB為等腰三角形，

理由如下：在△BC′D與△O′AD中，

，

∴△BC′D≌△O′AD（AAS），

∴BD=O′D，

∴△O′DB是等腰三角形

（2）

解：設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，a），則AD=a，

∵點(diǎn)B的坐標(biāo)是（1，3），

∴O′D=3﹣a，

在Rt△ADO′中，AD2+AO′2=O′D2，

∴a2+12=（3﹣a）2，

解得a= ，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1， ），

設(shè)直線C′O′的解析式為y=kx+b，

則 ，

解得 ，

∴邊C′O′所在直線的解析式：y=﹣ x+

（3）

解：∵AM=1，AO=1，且AM⊥AO，

∴△AOM是等腰直角三角形，

①PM是另一直角邊時(shí)，∠PMA=45°，

∴PA=AM=1，點(diǎn)P與點(diǎn)O′重合，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，0），

②PO是另一直角邊，∠POA=45°，則PO所在的直線為y=x，

∴ ，

解得 ，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（2，0）或（ ， ）．

【解析】（1）連接OB，O′B，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得OB=O′B，再根據(jù)矩形的性質(zhì)BA⊥OA，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AO=AO′，然后根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)求出AO的長(zhǎng)度，再得到AO′的長(zhǎng)度，點(diǎn)O′的坐標(biāo)即可得到；利用角角邊證明△BC′D與△O′AD全等，然后根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到BD=O′D，所以△O′DB是等腰三角形；（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)是（1，a），表示出O′D的長(zhǎng)度，然后利用勾股定理列式求出a的值，從而得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法列式即可求出直線C′O′的解析式；（3）根據(jù)AM=1可得△AOM是等腰直角三角形，然后分①PM是另一直角邊，∠PMA=45°，②PO是另一直角邊，∠POA=45°兩種情況列式進(jìn)行計(jì)算即可得解．
【考點(diǎn)精析】掌握全等三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等; 全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；矩形的四個(gè)角都是直角，矩形的對(duì)角線相等．