Question

9．一副三角板如圖1擺放，∠C=∠DFE=90°，∠B=30°，∠E=45°，點(diǎn)F在BC上，點(diǎn)A在DF上，且AF平分∠CAB，現(xiàn)將三角板DFE繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（當(dāng)點(diǎn)D落在射線FB上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)）．
（1）當(dāng)∠AFD=30°時(shí)，DF∥AC；當(dāng)∠AFD=60°時(shí)，DF⊥AB；
（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，DF與AB的交點(diǎn)記為P，如圖2，若AFP有兩個(gè)內(nèi)角相等，求∠APD的度數(shù)；
（3）當(dāng)邊DE與邊AB、BC分別交于點(diǎn)M、N時(shí)，如圖3，若∠AFM=2∠BMN，比較∠FMN與∠FNM的大小，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)∠AFD=30°時(shí)，AC∥DF，依據(jù)角平分線的定義可先求得∠CAF=∠FAB=30°，由內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，可證明AC∥DF，；當(dāng)∠AFD=60°時(shí)，DF⊥AB，由三角形的內(nèi)角和定理證明即可；
（2）分為∠FAP=∠AFP，∠AFP=∠APF，∠APF=∠FAP三種情況求解即可；
（3）先依據(jù)三角形外角的性質(zhì)證明∠FNM=30°+∠BMN，接下來再依據(jù)三角形外角的性質(zhì)以及∠AFM和∠BMN的關(guān)系可證明∠FMN=30°+∠BMN，從而可得到∠FNM與∠FMN的關(guān)系．

解答 解：（1）如圖1所示：

當(dāng)∠AFD=30時(shí)，AC∥DF．
理由：∵∠CAB=60°，AF平分∠CAB，
∴∠CAF=30°．
∵∠AFD=30°，
∴∠CAF=∠AFD，
∴AC∥DF．
如圖2所示：當(dāng)∠AFD=60°時(shí)，DF⊥AB．

∵∠CAB=60°，AF平分∠CAB，
∴∠AFG=30°．
∵∠AFD=60°，
∴∠FGB=90°．
∴DF⊥AB．
故答案為：30；60．
（2）∵∠CAB=60°，AF平分∠CAB，
∴∠FAP=30°．
當(dāng)如圖3所示：

當(dāng)∠FAP=∠AFP=30°時(shí)，∠APD=∠FAP+∠AFP=30°+30°=60°；
如圖4所示：

當(dāng)∠AFP=∠APF時(shí)．
∵∠FAP=30°，∠AFP=∠APF，
∴∠AFP=∠APF=$\frac{1}{2}$×（180°-30°）=$\frac{1}{2}$×150°=75°．
∴∠APD=∠FAP+∠AFP=30°+75°=105°；
如圖5所示：

如圖5所示：當(dāng)∠APF=∠FAP=30°時(shí)．
∠APD=180°-30°=150°．
綜上所述，∠APD的度數(shù)為60°或105°或150°．
（3）∠FMN=∠FNM．
理由：如圖6所示：

∵∠FNM是△BMN的一個(gè)外角，
∴∠FNM=∠B+∠BMN．
∵∠B=30°，
∴∠FNM=∠B+∠BMN=30°+∠BMN．
∵∠BMF是△AFM的一個(gè)外角，
∴∠MBF=∠MAF+∠AFM，
即∠BMN+∠FMN=∠MAF+∠AFM．
又∵∠MAF=30°，∠AFM=2∠BMN，
∴∠BMN+∠FMN=30°+2∠BMN．
∴∠FMN=30°+∠BMN．
∴∠FNM=∠FMN．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是三角形的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了角平分線的定義、三角形的內(nèi)角和定理、平行線的判定定理、三角形的外角的性質(zhì)，依據(jù)三角形的外角的性質(zhì)證得∠FNM=∠FMN是解題的關(guān)鍵．