Question

20．如圖，直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于點B、點C，經(jīng)過B、C兩點的拋物線y=x²+bx+c與x軸的另一個交點為A，頂點為P．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）連接AC，在x軸上是否存在點Q，使以P、B、Q為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先確定出點B，C坐標，再用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；
（2）先求出BA=2，BC=3$\sqrt{2}$，BP=$\sqrt{2}$，然后分兩種情況①由△ABC∽△PBQ，得到$\frac{BQ}{BP}=\frac{BC}{BA}$，求出BQ，②由△ABC∽△QBP得$\frac{BQ}{BP}=\frac{BA}{BC}$，求出BQ，即可．

解答 解：（1）∵直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于點B、點C，
令x=0，得y=3，
∴C（0，3），
令y=0，得x=3，
∴B（3，0），
∵經(jīng)過B、C兩點的拋物線y=x²+bx+c
∴$\left\{\begin{array}{l}3=c\\ 0=9+3b+c\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}b=-4\\ c=3\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=x²-4x+3；
（2）由（1），得A（1，0），連接BP，
∵∠CBA=∠ABP=45°，
∵拋物線解析式為y=x²-4x+3；
∴P（2，-1），
∵A（1，0），B（3，0），C（0，3），
∴BA=2，BC=3$\sqrt{2}$，BP=$\sqrt{2}$，
當△ABC∽△PBQ時，
∴$\frac{BQ}{BP}=\frac{BC}{BA}$，
∴$\frac{BQ}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴BQ=3，
∴Q（0，0），
當△ABC∽△QBP時，
∴$\frac{BQ}{BP}=\frac{BA}{BC}$，
∴$\frac{BQ}{\sqrt{2}}=\frac{2}{3\sqrt{2}}$，
∴BQ=$\frac{2}{3}$，
∴Q（$\frac{7}{3}$，0），
∴Q點的坐標為（0，0）或（$\frac{7}{3}$，0）．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，相似三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是分兩種情況求BQ，也是易錯的地方．