Question

8．你知道古代數(shù)學家怎樣解一元二次方程嗎？以x²-2x-3=0為例，大致過程如下：
第一步：將原方程變形為x²-2x=3，即x（x-2）=3．
第二步：構造一個長為x，寬為（x-2）的長方形，長比寬大2，且面積為3，如圖1所示．
第三步：用四個這樣的長方形圍成一個大正方形，中間是一個小正方形，如圖2所示．
第四步：計算大正方形面積用x表示為（2x-2）²．
由觀察可得，大正方形面積等于四個長方形與小正方形面積之和，得方程（2x-2）²=4×3+2²，兩邊開方可求得：x₁=3，x₂=-1．
（1）第四步中橫線上應填入（2x-2）²；（2x-2）²=4×3+2²．
（2）請參考古人的思考過程，解方程x²-x-1=0．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意先表示出大正方形的邊長再根據(jù)正方形的面積公式即可得出大正方形面積；
根據(jù)題意先得出小正方形的邊長，再根據(jù)大正方形面積等于四個長方形與小正方形面積之和，即可得出答案；
（2）先將原方程變形，構造出一個長為x，寬為（x-1）的長方形，長比寬大1，且面積為1，再用四個這樣的長方形圍成一個大正方形，中間是一個小正方形，然后根據(jù)大正方形面積等于四個長方形與小正方形面積之和，得出一個方程，兩邊開方，即可求出方程的解．

解答 解：（1）∵大正方形的邊長是[x+（x-2）]，
∴大正方形面積是：[x+（x-2）]²=（2x-2）²；
∵小正方形的邊長是：[x+（x-2）]-2（x-2）=2，長方形的面積為3
又∵大正方形面積等于四個長方形與小正方形面積之和，
∴（2x-2）²=4×3+2²=16；
故答案為：（2x-2）²；（2x-2）²=4×3+2²；

（2）第一步：將原方程變形為x²-x=1，即x（x-1）=1．
第二步：構造一個長為x，寬為（x-1）的長方形，長比寬大1，且面積為1．
第三步：用四個這樣的長方形圍成一個大正方形，中間是一個小正方形．
第四步：計算大正方形面積用x表示為[x+（x+1）]²．
由觀察可得，大正方形面積等于四個長方形與小正方形面積之和，得方程[x+（x-1）]²=4×1+1²，兩邊開方可求得：x₁=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，x₂=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$．

點評 此題考查了一元二次方程的應用，用到的知識點是長方形、正方形的面積公式，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程．