Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點(diǎn)，BE⊥AC，垂足為點(diǎn)F，連接DF，下面四個(gè)結(jié)論：①CF=2AF；②tan∠CAD= ；
③DF=DC；④△AEF∽△CAB；⑤ S四邊形CDEF=S△ABF ,其中正確的結(jié)論有（ ）

A.2個(gè)
B.3個(gè)
C.4個(gè)
D.5個(gè)

Answer 1

【答案】D
【解析】如圖：過D作DM∥BE交AC于N，
①∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴=，
又∵E是AD邊的中點(diǎn)，
∴AE=AD=BC，
∴=，
即CF=2AF.
故①正確.
②∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠ADC=∠ABC=90°，AB=CD，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠BAF=∠ACD，
又∵BE⊥AC，
∴∠AFE=∠ADC=90°，
∴△BAE∽△ADC，
∴=
∵AB=CD，AE=AD，
∴CD=AD，
∴tan∠CAD==.
故②正確.
③∵四邊形ABCD為矩形
∴DE∥BM，
∵DM∥BE，
∴四邊形BMDE是平行四邊形，
∴BM=DE=BC，
∴BM=CM，
∴CN=FN，
又∵BE⊥AC，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DN垂直平分CF，
∴DF=DC，
故③正確.
④∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，∠ABC=90°，
∴∠EAC=∠ACB，
又∵BE⊥AC，
∴∠AFE=∠ABC=90°，
∴△AEF∽△CAB.
故④正確.
⑤∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴=，
又∵E是AD邊的中點(diǎn)，
∴AE=AD=BC，
∴=，
∴S△AEF=S△ABF ，S△AEF=S△ABE，S△ABE=S矩形ABCD，
∴S△ABF=S矩形ABCD，
∴S△AEF=S矩形ABCD，
又∵S四邊形CDEF=S△ACD-S△AEF=S矩形ABCD-S矩形ABCD=S矩形ABCD，
∴S四邊形CDEF=S△ABF.
故⑤正確.

【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解三角形的面積的相關(guān)知識(shí)，掌握三角形的面積=1/2×底×高，以及對(duì)平行四邊形的判定與性質(zhì)的理解，了解若一直線過平行四邊形兩對(duì)角線的交點(diǎn)，則這條直線被一組對(duì)邊截下的線段以對(duì)角線的交點(diǎn)為中點(diǎn)，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積．