Question

2．已知二次函數(shù)y=ax²-3ax-4a的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸正半軸交于點(diǎn)C（如圖1），$tan∠ACO=\frac{1}{2}$．

（1）求此二次函數(shù)的解析式；
（2）P（-3，0）為x軸上一點(diǎn)，在拋物線(xiàn)第一象限的圖象上是否存在一點(diǎn)Q，連PQ交AC于點(diǎn)D，使得∠PDA=45°？（如圖2）若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）將拋物線(xiàn)作適當(dāng)平移，使新拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)D在射線(xiàn)AC上，且新拋物線(xiàn)與直線(xiàn)BC交于點(diǎn)M、N，（如圖3）問(wèn)是否存在這樣的拋物線(xiàn)，使得$\frac{{{S_{△DMC}}}}{{{S_{△DNC}}}}=\frac{1}{4}$？若存在，請(qǐng)求新拋物線(xiàn)的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）令y=0求出點(diǎn)A、B坐標(biāo)，再由tan∠ACO=$\frac{1}{2}$求出點(diǎn)C坐標(biāo)即可求出a．
（2）構(gòu)造等腰直角三角形△PEF，由AC∥EF得到∠PDA=∠PEF=45°，即可解決問(wèn)題．
（3）可以設(shè)M、N的橫坐標(biāo)分別為-t，4t，由方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+2}\\{y=-\frac{1}{2}（x-m）^{2}+2m+2}\end{array}\right.$消去y得到：x²-（2m+1）x+m²-4m=0，再利用根與系數(shù)的關(guān)系求出m．

解答 解：（1）令y=O得ax²-3ax-4a=0，解得x₁=-1，x₂=4，
∴A（-1，0），B（4，0），
∵tan∠ACO=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AO}{CO}=\frac{1}{2}$，
∴CO=2，
∴-4a=2，
a=-$\frac{1}{2}$，
∴拋物線(xiàn)解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2．
（2）存在．理由如下：
在圖1中，取點(diǎn)E（0，1），F(xiàn)（-2，-3），作直線(xiàn)PE交AC于D，交拋物線(xiàn)于Q，作FH⊥PO垂足為H．
在△POE和△FHP中，
$\left\{\begin{array}{l}{PO=HF}\\{∠POE=∠PHF}\\{EO=PH}\end{array}\right.$，
∴△POE≌△FHP，
∴PE=PF，∠EPO=∠PFH，
∵∠PFH+∠FPH=90°，
∴∠EPO+∠FPH=90°，
∴∠EPF=90°，∠PEF=∠PF=45°，
設(shè)直線(xiàn)EF的解析式為y=kx+b，E、F的坐標(biāo)代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{-2k+b=-3}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直線(xiàn)EF為y=2x+1，
設(shè)直線(xiàn)AC為y=k′x+b′，A、C的坐標(biāo)代入得$\left\{\begin{array}{l}{b′=2}\\{-k′+b′=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{k′=2}\\{b′=2}\end{array}\right.$，
∴直線(xiàn)AC為y=2x+2，
∴AC∥EF，
∴∠PDA=∠PEF=45°，
∴直線(xiàn)PQ滿(mǎn)足條件，設(shè)直線(xiàn)PQ為y=k″x+b″，P、E坐標(biāo)代入得$\left\{\begin{array}{l}{b″=1}\\{-3k″+b″=0}\end{array}\right.$∴$\left\{\begin{array}{l}{k″=\frac{1}{3}}\\{b″=1}\end{array}\right.$，
∴直線(xiàn)PQ為y=$\frac{1}{3}$x+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x+1}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2}\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2}{3}}\\{y=\frac{7}{9}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)Q（3，2）．
（3）存在．理由如下：
∵拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在直線(xiàn)AC上，
∴可以設(shè)新拋物線(xiàn)為y=-$\frac{1}{2}$（x-m）²+2m+2，
∵$\frac{{S}_{△DMC}}{{S}_{△DNC}}=\frac{1}{4}$，可以設(shè)M、N的橫坐標(biāo)分別為-t，4t，
易知直線(xiàn)BC為y=-$\frac{1}{2}x$+2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+2}\\{y=-\frac{1}{2}（x-m）^{2}+2m+2}\end{array}\right.$消去y得到：x²-（2m+1）x+m²-4m=0，
由題意$\left\{\begin{array}{l}{-t+4t=2m+1}\\{-t•4t={m}^{2}-4m}\end{array}\right.$，解得m=$\frac{2}{5}$．
∴新拋物線(xiàn)為y=-$\frac{1}{2}（x-\frac{2}{5}）^{2}+\frac{14}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的圖象問(wèn)題、全等三角形的判定和性質(zhì)、根與系數(shù)關(guān)系等知識(shí)，構(gòu)造等腰直角三角形創(chuàng)造45°是解題的關(guān)鍵，本題綜合性強(qiáng)，需要靈活運(yùn)用方程與函數(shù)的關(guān)系解決問(wèn)題．