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3.已知點D是直角三角形ABC的斜邊AC的中點,DE⊥AC交BC于點E,且∠EAB:∠BAC=2:5,求∠C的度數.

分析 設∠EAB=2x,則∠BAC=5x,∠EAC=3x,由線段垂直平分線的性質可知AE=CE,故∠ACB=∠EAC=3x,由直角三角形的性質可求出x的值,進而得出結論.

解答 解:∵∠EAB:∠BAC=2:5,
∴設∠EAB=2x,則∠BAC=5x,∠EAC=3x,
∵D是Rt△ABC斜邊AC的中點,DE⊥AC,
∴AE=CE,
∴∠ACB=∠EAC=3x,
∵∠ACB+∠BAC=90°,即5x+3x=90°,解得x=$\frac{45°}{4}$,
∴∠ACB=3×$\frac{45°}{4}$=33.75°.

點評 本題考查的是線段垂直平分線的性質,熟知垂直平分線上任意一點,到線段兩端點的距離相等是解答此題的關鍵.

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