Question

8．已知：△ABC和△ADE都是等邊三角形．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，判斷線段CE和線段AB的位置關(guān)系，并證明；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上，寫出AC、CD、CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上，且ED⊥BC時(shí)，CE與AD之間存在怎樣的位置關(guān)系？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）先判斷出∠BAD=∠CAE，從而得出△ABD≌△ACE，最后求出∠B+∠BCE=180°即可；
（2）同（1）方法判斷出△ABD≌△ACE，得到BD=CE，借助圖形得到CE=AC+CD．
（3）利用線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定進(jìn)行推理即可．

解答 證明：（1）CE∥AB，
理由：∵∠BAD=60°-∠DAC，
∠CAE=60°-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE，
∴∠ACE=∠B=60°，
∴∠B+∠BCE=60°+60°+60°=180°，
∴CE∥AB，
（2）CE=AC+CD，
理由：∵∠BAD=60°+∠DAC，
∠CAE=60°+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴在△ABD和△ACE中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，
∵BC=AC，BD=BC+CD，
∴CE=AC+CD．
（3）CE垂直平分AD，
∵ED=AE，
∴點(diǎn)E在AD的垂直平分線上，
∵∠EDC=90°，∠EDA=60°，
∴∠CDA=30°，
∵∠ACB=60°，
∴∠CAD=30°，
∴∠CDA=∠CAD，
∴AC=CD，
∴點(diǎn)C在AD的垂直平分線上，
∴CE垂直平分AD．

點(diǎn)評(píng) 此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定，解本題的關(guān)鍵是∠BAD=∠CAE．初中用判斷∠BAD=∠CAE的這種方法經(jīng)常出現(xiàn)，要求學(xué)生熟記這種方法．