Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點(diǎn)，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A作直線MN的垂線，垂足為點(diǎn)D，且∠BAC=∠CAD．

（1）求證：直線MN是⊙O的切線；

（2）若CD=3，∠CAD=30°，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）連接OC，推出AD∥OC，推出OC⊥MN，根據(jù)切線的判定推出即可；

（2）求出AD、AC長(zhǎng)，證△ADC∽△ACB，得出比例式，代入求出AB長(zhǎng)即可．

試題解析：（1）證明：連接OC，因?yàn)镺A=OC，所以∠BAC=∠ACO．因?yàn)锳C平分∠BAD，所以∠BAC=∠CAD，故∠ACO=∠CAD．所以O(shè)C∥AD，又已知AD丄MN，所以O(shè)C丄MN，所以，直線MN是⊙O的切線；

（2）解：已知AB是⊙O的直徑，則∠ACB=90°，又AD丄MN，則∠ADC=90°．因?yàn)镃D=3，∠CAD=30°，所以AD=，AB=6．在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠BAC=∠CAD，所以Rt△ABC∽R(shí)t△ACD，則，則AB=，所以⊙O的半徑為．