Question

19．如圖，AA₁、BB₁、CC₁相交于O，AB∥A₁B₁，BC∥B₁C₁，求證：
（1）AC∥A₁C₁，
（2）△ABC∽△A₁B₁C₁．

Answer 1

分析 （1）由AB∥A₁B₁，BC∥B₁C₁得$\frac{AO}{O{A}_{1}}$=$\frac{CO}{O{C}_{1}}$，再加上對頂角相等，可證明△AOC∽△A₁OC₁，得∠CAO=∠OA₁C₁，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行可得結(jié)論；
（2）根據(jù)AB∥A₁B₁，AC∥A₁C₁，得$\frac{AB}{{A}_{1}{B}_{1}}$=$\frac{AC}{{A}_{1}{C}_{1}}$，再由等量加等量和相等得∠BAC=∠B₁A₁C₁，所以△ABC∽△A₁B₁C₁．

解答 證明：（1）∵AB∥A₁B₁，
∴$\frac{AO}{O{A}_{1}}$=$\frac{BO}{O{B}_{1}}$，
∵BC∥B₁C₁，
∴$\frac{BO}{O{B}_{1}}$=$\frac{CO}{O{C}_{1}}$，
∴$\frac{AO}{O{A}_{1}}$=$\frac{CO}{O{C}_{1}}$，
∵∠AOC=∠A₁OC₁，
∴△AOC∽△A₁OC₁，
∴∠CAO=∠OA₁C₁，
∴AC∥A₁C₁；
（2）∵AB∥A₁B₁，
∴$\frac{AB}{{A}_{1}{B}_{1}}$=$\frac{AO}{O{A}_{1}}$，∠BAO=∠OA₁B₁，
∵AC∥A₁C₁，
∴$\frac{AC}{{A}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{AO}{O{A}_{1}}$，∠CAO=∠OA₁C₁，
∴$\frac{AB}{{A}_{1}{B}_{1}}$=$\frac{AC}{{A}_{1}{C}_{1}}$，∠BAC=∠B₁A₁C₁，
∴△ABC∽△A₁B₁C₁．

點評 本題考查了平行線分線段成比例定理和相似三角形的判定，熟練掌握平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例，這在相似三角形的證明題中經(jīng)常運用；同時要知道相似三角形的一般判定方法：①平行線法，②三邊法，③兩邊及其夾角法，④兩角法．