Question

4．如圖1，E是直線AB，CD內(nèi)部一點(diǎn)，AB∥CD，連接EA，ED．
（1）探究猜想：①若∠A=25°，∠D=35°，則∠AED等于60度．
②若∠A=35°，∠D=45°，則∠AED等于80度．
③猜想圖1中∠AED，∠EAB，∠EDC的關(guān)系并證明你的結(jié)論．
（2）拓展應(yīng)用：如圖2，射線FE與矩形ABCD的邊AB交于點(diǎn)E，與邊CD交于點(diǎn)F，①②③④分別是被射線FE隔開的4個(gè)區(qū)域（不含邊界，其中區(qū)域③、④位于直線AB上方，P是位于以上四個(gè)區(qū)域上的點(diǎn)，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的關(guān)系（直接寫出結(jié)論，不要求證明）．

Answer 1

分析 （1）①過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，再由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
②③根據(jù)①的過(guò)程可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）①過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，

∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∵∠A=25°，∠D=35°，
∴∠1=∠A=25°，∠2=∠D=35°，
∴∠AED=∠1+∠2=60°；
②過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∵∠A=35°，∠D=45°，
∴∠1=∠A=35°，∠2=∠D=45°，
∴∠AED=∠1+∠2=80°；
③猜想：∠AED=∠EAB+∠EDC．
理由：過(guò)點(diǎn)E作EF∥CD，
∵AB∥DC∴EF∥AB（平行于同一條直線的兩直線平行），
∴∠1=∠EAB，∠2=∠EDC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），
∴∠AED=∠1+∠2=∠EAB+∠EDC（等量代換）．
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在①區(qū)域時(shí)，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠CFE=180°，
∴∠PEF+∠PFE=（∠PEB+∠PFC）-180°．
∵∠PEF+∠PFE+∠EPF=180°，
∴∠EPF=180°-（∠PEF+∠PFE）=180°-（∠PEB+∠PFC）+180°=360°-（∠PEB+∠PFC）；
當(dāng)點(diǎn)P在區(qū)域②時(shí)，如圖3所示，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠CFE=180°，
∵∠EPF+∠FEP+∠PFE=180°，
∴∠EPF=∠PEB+∠PFC．
故答案為：（1）①60，②80．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．