Question

【題目】設(shè)二次函數(shù)，一次函數(shù)，若方程的兩根是，．

（1）求b、c的值；

（2）當(dāng)x滿足時(shí)，比較與x的大小并說明理由；

（3）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是，點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離與到直線的距離之和最小時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）b=0，c=；（2）y1＜x，理由見解析；（3）（2，2）

【解析】

（1）先把點(diǎn)（1，1），（2，2）的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式得到b，c的方程組，解方程組求出b，c的值即可；

（2）由于y1-x=，由1＜x＜2可得y1-x＜0，從而求解；

（3）先根據(jù)勾股定理及其逆定理證明△OP2M是直角三角形，然后可證P在直線與拋物線兩交點(diǎn)之間的P2處時(shí)，點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離與到直線的距離之和最小．

解：（1）∵方程的兩根是，，

∴兩交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），（2，2），

∴，

解得b=0，c=；

（2）y1-x=，

當(dāng)1＜x＜2時(shí)，y1-x＜0，

所以y1＜x；

（3）由題知，拋物線與直線的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為P1（1，1）、P2（2，2），

∵OM=4，OP2=， MP2=，

∴OP22+MP22=OM2，

∴△OP2M是直角三角形，

∴∠OP2M=90°，

∴MP2⊥直線y2=x，

∴MP2到直線y2=x的距離最短，

又∵P到y2=x的距離是0，

∴當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)是（2，2）時(shí)，P到M的距離與到直線y2=x距離之和最小，

即所求P點(diǎn)坐標(biāo)是（2，2）．