Question

12．已知，如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，線段AB∥y軸，點(diǎn)B在x軸正半軸上，點(diǎn)A在第一象限，AB=10．點(diǎn)P是線段AB上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上從點(diǎn)A向點(diǎn)B開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)B同時(shí)在x軸上從點(diǎn)C（4，0）向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P、點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的速度都是每秒1個(gè)單位，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（0＜t＜4）．

（1）用含有t的式子表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)P恰好在直線y=3x上時(shí)，求線段AP的長；
（3）在（2）的條件下，直角坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)D，使以O(shè)、P、A、D為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形．如果存在，請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；如果不存在，請簡單說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意表示出BP，OB即可；
（2）由點(diǎn)P在直線y=3x上，建立方程求出t即可；
（3）分三種情況討論計(jì)算，①當(dāng)AP，OD為底時(shí)，AP∥OD，AD=OP，AP≠OD，②當(dāng)OP，AD為底時(shí)，AP=OD，OD不平行AP，OP∥AD③當(dāng)DP，OA為底時(shí)，AP=OD，AP不平行OD，PD∥OA，即可．

解答 解：（1）根據(jù)題意得，BP=AB-AP=10-t，OB=OC-BC=4-t，
∴P（4-t，10-t），
（2）由（1）得，P（4-t，10-t），
∴將P（4-t，10-t）代入y=3x，得t=1，
∴AP=1，
（3）∵以O(shè)、P、A、D為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形，
①如圖1，

當(dāng)AP，OD為底時(shí)，
∴AP∥OD，AD=OP，AP≠OD，
∴點(diǎn)D在y軸上，
設(shè)點(diǎn)D（0，a），
由（2）有，t=1，
∴A（3，10），P（3，9），
∴AD=$\sqrt{9+（{10-a）}^{2}}$，OP=$\sqrt{9+81}$
∴$\sqrt{9+（{10-a）}^{2}}$=$\sqrt{9+81}$，
∴a=19或a=1（∵AP=OD=1，∴舍）．
∴D（0，19），
②如圖2，

當(dāng)OP，AD為底時(shí)，
∴AP=OD，OD不平行AP，OP∥AD
∵點(diǎn)P在直線y=3x上，且點(diǎn)A（3，10），
∴直線AD解析式為y=3x+1，
設(shè)D（b，3b+1），
由（2）有，t=1，
∴A（3，10），P（3，9），
∴AP=1，OD=$\sqrt{^{2}+（3b+1）^{2}}$，
∴1=$\sqrt{^{2}+（3b+1）^{2}}$，
∴b=-$\frac{3}{5}$或b=0（∵OD∥AP，∴舍），
∴D（-$\frac{3}{5}$，-$\frac{4}{5}$），
③如圖3，

當(dāng)DP，OA為底時(shí)，
∴AP=OD，AP不平行OD，PD∥OA，
∵A（3，10），
∴直線OA解析式為y=$\frac{10}{3}$x，
∵P（3，10），
∴直線PD解析式為y=$\frac{10}{3}$x-1，
設(shè)D（c，$\frac{10}{3}$c-1），
由（2）有，t=1，
∴A（3，10），P（3，9），
∴AP=1，OD=$\sqrt{{c}^{2}+（{\frac{10}{3}c-1）}^{2}}$，
∴1=$\sqrt{{c}^{2}+（{\frac{10}{3}c-1）}^{2}}$，
∴c=$\frac{60}{109}$或c=-1（∵AP∥OD，∴舍），
∴D（$\frac{60}{109}$，$\frac{91}{109}$），
∴符合條件的D（0，19）、（-$\frac{3}{5}$，-$\frac{4}{5}$）、（$\frac{60}{109}$，$\frac{91}{109}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了點(diǎn)在直線上的特點(diǎn)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等腰梯形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是分情況討論計(jì)算，難點(diǎn)是畫出滿足題意的圖形．