Question

14．如圖，等邊△ABC的邊AB上一點P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長線上的一點，當PA=CQ時，連接PQ交AC于點D，則：①PD=DQ；②∠Q=30°；③DE=$\frac{1}{2}$AC；④AE=$\frac{1}{2}$CQ．其中正確的結論是①③④．（把所有正確結論的序號都寫在橫線上）．

Answer 1

分析 ①作輔助線，證明△PFD≌△QCD，可以得：PD=DQ；
②由全等可知：∠DPF=∠Q，由QP與AB不垂直，可以得∠Q不一定為30°；
③根據等腰三角線三線合一得：EF=$\frac{1}{2}$AF，由全等得：DF=$\frac{1}{2}$FC，兩式相加可得結論；
④根據30°角所對的直角邊是斜邊一半可得結論．

解答 解：①過P作PF∥BQ，交AC于F，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=∠A=60°，
∵PF∥BQ，
∴∠AFP=∠ACB=60°，∠PFD=∠QCD，
∴△AFP是等邊三角形，
∴PF=PA，
∵PA=CQ，
∴PF=CQ，
在△PFD和△QCD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠ADP=∠CDQ}\\{∠PFD=∠QCD}\\{PF=CQ}\end{array}\right.$，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴PD=DQ；
所以①結論正確；
②由①得：△PFD≌△QCD，
∴∠DPF=∠Q，
∵△APF等邊三角形，
∴∠APF=60°，
∵QP與AB不一定垂直，
∴∠Q不一定為30°，
所以②結論不正確；
③∵△APF是等邊三角形，PE⊥AC，
∴EF=$\frac{1}{2}$AF，
∵△PFD≌△QCD，
∴DF=DC，
∴DF=$\frac{1}{2}$FC，
∴DE=EF+DF=$\frac{1}{2}$AF+$\frac{1}{2}$FC=$\frac{1}{2}$AC，
所以③結論正確；
④在Rt△AEP中，∠A=60°，
∴∠APE=30°，
∴AE=$\frac{1}{2}$AP，
∴AE=$\frac{1}{2}$CQ，
所以④結論正確；
所以本題結論正確的有：①③④；
故答案為：①③④．

點評 本題考查了等邊三角形的性質和判定、三角形全等的性質和判定、直角三角形30°角的性質，作輔助線構建全等三角形是本題的關鍵．