Question

【題目】如圖，反比例函數(shù)的圖像與一次函數(shù)的圖像交于點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，點(diǎn)是第一象限內(nèi)反比例函數(shù)圖像上的動(dòng)點(diǎn)，且在直線(xiàn)的上方.

（1）若點(diǎn)的坐標(biāo)是，則 ， ；

（2）設(shè)直線(xiàn)與軸分別交于點(diǎn)，求證：是等腰三角形；

（3）設(shè)點(diǎn)是反比例函數(shù)圖像位于之間的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），連接，比較與的大小，并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）， .（2）詳見(jiàn)解析；（3），理由詳見(jiàn)解析.

【解析】

（1）由P點(diǎn)坐標(biāo)可直接求得k的值，過(guò)P、B兩點(diǎn)，構(gòu)造矩形，利用面積的和差可求得△PBO的面積，利用對(duì)稱(chēng)，則可求得△PAB的面積；

（2）可設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，表示出直線(xiàn)PA、PB的解析式，則可表示出M、N的坐標(biāo)，作PG⊥x軸于點(diǎn)G，可求得MG=NG，即G為MN的中點(diǎn)，則可證得結(jié)論；

（3）連接QA交x軸于點(diǎn)M′，連接QB并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)N′，利用（2）的結(jié)論可求得∠MM′A=∠QN′O，結(jié)合（2）可得到∠PMN=∠PNM，利用外角的性質(zhì)及對(duì)頂角進(jìn)一步可求得∠PAQ=∠PBQ．

（1）∵點(diǎn)P（1，4）在反比例函數(shù)圖象上，

∴k=4×1=4，

∵B點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，

∴B（4，1），

連接OP，過(guò)P作x軸的平行線(xiàn)，交y軸于點(diǎn)P′，過(guò)B作y軸的平行線(xiàn)，交x軸于點(diǎn)B′，兩線(xiàn)交于點(diǎn)D，如圖1，

則D（4，4），

∴PP′=1，P′O=4，OB′=4，BB′=1，

∴BD=4-1=3，PD=4-1=3，

∴S△POB=S矩形OB′DP′-S△PP′O-S△BB′O-S△BDP=16-2-2-4.5=7.5，

∵A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

∴OA=OB，

∴S△PAO=S△PBO，

∴S△PAB=2S△PBO=15；

（2）∵點(diǎn)P是第一象限內(nèi)反比例函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，且在直線(xiàn)AB的上方，

∴可設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，），且可知A（-4，-1），

設(shè)直線(xiàn)PA解析式為y=k′x+b，

把A、P坐標(biāo)代入可得，解得，

∴直線(xiàn)PA解析式為，令y=0可求得x=m-4，

∴M（m-4，0），

同理可求得直線(xiàn)PB解析式為，令y=0可求得x=m+4，

∴N（m+4，0），

作PG⊥x軸于點(diǎn)G，如圖2，則G（m，0），

∴MG=m-（m-4）=4，NG=m+4-m=4，

∴MG=NG，即G為MN中點(diǎn)，

∴PG垂直平分MN，

∴PM=PN，即△PMN是等腰三角形；

（3）∠PAQ=∠PBQ，理由如下：

連接QA交x軸于M′，連接QB并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)N′，如圖3，

由（2）可得PM′=PN′，即∠QM′O=∠QN′O，

∴∠MM′A=∠QN′O，

由（2）知∠PMN=∠PNM，

∴∠PMN-∠MM′A=∠PNM-∠QN′O，

∴∠PAQ=∠NBN′，

又∠NBN′=∠PBQ，

∴∠PAQ=∠PBQ．