Question

【題目】定義：有兩條邊長的比值為的直角三角形叫“潛力三角形”．如圖，在△ABC中，∠B=90°，D是AB的中點，E是CD的中點，DF∥AE交BC于點F．

（1）設“潛力三角形”較短直角邊長為a，斜邊長為c，請你直接寫出的值為　 　；

（2）若∠AED=∠DCB，求證：△BDF是“潛力三角形”；

（3）若△BDF是“潛力三角形”，且BF=1，求線段AC的長．

Answer 1

【答案】（1）2或；（2）證明見解析；（3）5或或或．

【解析】試題分析：（1）分兩種情況：①當時，2；②設另一條直角邊長為b，當時，b=2a，由勾股定理求出c=，得出；即可得出答案；

（2）延長AE交BC于G，由平行線的性質(zhì)得出∠AED=∠CDF，BF=GF，再由已知得出∠CDF=∠DCB，證出DF=CF，由平行線得出CG=GF，得出BF=GF=CG，因此DF=CF=2GF=2BF，得出，即可得出結論；

（3）分四種情況：①當時；②當時；③當時；④當時；求出BC=3，分別求出AB的長，由勾股定理求出AC即可．

試題解析：（1）分兩種情況：

①當時，2；

②設另一條直角邊長為b，當時，b=2a，

∵∠B=90°，

∴c=，

∴；

（2）證明：延長AE交BC于G，如圖所示：

∵DF∥AE，D是AB的中點，

∴∠AED=∠CDF，BF=GF，

∵∠AED=∠DCB，

∴∠CDF=∠DCB，

∴DF=CF，

∵DF∥AE，E是CD的中點，

∴CG=GF，

∴BF=GF=CG，

∴DF=CF=2GF=2BF，

∴，

又∵∠B=90°，

∴△BDF是“潛力三角形”；

（3）延長AE交BC于G，如圖所示．

分四種情況：

①當時，

∵BF=1，

∴GF=CG=BF=1，BD=2，

∴AB=2BD=4，BC=3，

∴AC=；

②當時，DF=2BF=2，

∴BD=

∴AB=2BD=2，

∵BC=3，∠B=90°，

∴AC=；

③當時，BD=BF=，

∴AB=2BD=1，

∵BC=3，∠B=90°，

∴AC=；

④當時，

設BD=x，則DF=2x，

由勾股定理得：（2x）2﹣x2=12，

解得：x=，

∴AB=2BD=，

∵BC=3，∠B=90°，

∴AC=；

綜上所述：若△BDF是“潛力三角形”，且BF=1，線段AC的長為5或或或．