Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，按C→B→A的路徑，以2cm每秒的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)t＝1s時(shí)，求△ACP的面積．

（2）t為何值時(shí)，線段AP是∠CAB的平分線？

（3）請(qǐng)利用備用圖2繼續(xù)探索：當(dāng)△ACP是等腰三角形時(shí)，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）6；（2）；（3）3s或6s或s或5.4s．

【解析】

（1）當(dāng)t＝1s時(shí)，△ACP是直角三角形，根據(jù)公式求△ACP的面積；

（2）如圖3，過P作PH⊥AB于H，Rt△PHB中，PB＝8﹣2t，根據(jù)勾股定理列方程可求解；

（3）分四種情況進(jìn)行討論：①如圖4，根據(jù)AC＝CP列式求解；②如圖5，根據(jù)AC＝AP列式求解；③如圖6，AP＝PC，根據(jù)AP＝PB列式求解；④如圖7，AC＝CP，根據(jù)AP的值列式求解．

解：（1）如圖1，點(diǎn)P在BC上，

由題意得：CP＝2t，

當(dāng)t＝1時(shí)，PC＝2，

∴S△ACP＝ACPC＝×6×2＝6；

（2）如圖2，

Rt△ACB中，由勾股定理得：AB＝＝10，

如圖3，AP平分∠CAB，

過P作PH⊥AB于H，

∵∠C＝90°，

∴PC＝PH＝2t，

∵∠C＝∠AHP＝90°，AP＝AP，

∴△ACP≌△AHP，

∴AH＝AC＝6，

∴BH＝4，

在Rt△PHB中，PB＝8﹣2t，

∴(2t)2+42＝(8﹣2t)2，

t＝；

則當(dāng)t＝時(shí)，線段AP是∠CAB的平分線；

（3）當(dāng)△ACP是等腰三角形時(shí)，有四種情況：

①如圖4，AC＝CP時(shí)，

由題意得

2t＝6，

∴t＝3；

②如圖5，AC＝AP時(shí)，

由題意得

18﹣2t＝6，

∴t＝6；

③如圖6，AP＝PC時(shí)，

過P作PG⊥AC于G，

∵∠C＝90°，

∴PG∥BC，

∴AP＝PB，

即18﹣2t＝2t﹣8，

∴t＝；

④如圖7，AC＝CP時(shí)，

過C作CM⊥AB于M，

∴AM＝PM=(18-2t)=9-t，

∵AB×CM=AC×BC，

∴CM=4.8，

∴AM==3.6，

∴9-t=3.6，

∴t＝5.4，

綜上所述，當(dāng)△ACP是等腰三角形時(shí)，t的值是3s或6s或s或5.4s．