Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣（x+1）（x﹣m）交x軸于A，B兩點（A在B的左側，m＞0），交y軸正半軸于點C，過點C作x軸的平行線交拋物線于另一點E，拋物線的對稱軸交CE于點F，以C為圓心畫圓，使⊙C經(jīng)過點（0，2）．

（1）直接寫出OB，OC的長．（均用含m的代數(shù)式表示）
（2）當m＞2時，判斷點E與⊙C的位置關系，并說明理由．
（3）當拋物線的對稱軸與⊙C相交時，其中下方的交點為D．連結CD，BD，BC．
①當m＞3，且C，D，B三點在同一直線上時，求m的值．
②當△BCD是以CD為腰的等腰三角形時，求m的值．（直接寫出答案即可）

Answer 1

【答案】
（1）

解：由拋物線y=﹣（x+1）（x﹣m）可知A（﹣1，0），B（m，0），

∴OB=m，

令x=0，求得y=m，

∴C（0，m），

∴OC=m

（2）

解：∵OA=1，OB=m，

∴CE=m﹣1，

∵⊙C經(jīng)過點（0，2），

∴⊙C的半徑為m﹣2，

∵m﹣2＜m﹣1，

∴點E在⊙C外

（3）

解：①∵OB=OC=m，

∴△BOC是等腰直角三角形，

∴∠OCB=45°，

∴∠BCE=45°，

∵C，D，B三點在同一直線上，

∴△CDF是等腰直角三角形，

∴CD= CF，即m﹣2= ，

解得m=3+ ；

②∵CD=m﹣2，CF= ，

∴FD= = ，

∴D（ ，m﹣ ），

∵△BCD是以CD為腰的等腰三角形，

∴D在直線BC的垂直平分線上，

∵OB=OC=m，

∴直線BC的垂直平分線為y=x，

把D（ ，m﹣ ）代入得， =m﹣ ，

整理得m2﹣8m+7=0，解得m1=1，m2=7，

∴當△BCD是以CD為腰的等腰三角形時，m的值為1或7

【解析】（1）由拋物線y=﹣（x+1）（x﹣m）可知A（﹣1，0），B（m，0），得出OB=m，令x=0，求得y=m，得出OC=m；（2）根據(jù)拋物線的對稱性求得CE=m﹣1，因為⊙C經(jīng)過點（0，2），所以⊙C的半徑為m﹣2，根據(jù)m﹣2＜m﹣1，即可判定點E在⊙C外；（3）①先證得△BOC是等腰直角三角形，進而證得△CDF是等腰直角三角形，得出CD= CF，即m﹣2= ，解得m=3+ ；②由CD=m﹣2，CF= ，根據(jù)勾股定理FD= = ，得出DG=m﹣ ，根據(jù)CD=DB，得出D在直線BC的垂直平分線上，根據(jù)OB=OC=m，得出直線BC的垂直平分線為y=x，代入D（ ，m﹣ ），整理得出m2﹣8m+7=0，解得m1=1，m2=7．
【考點精析】關于本題考查的二次函數(shù)的性質和點和圓的三種位置關系，需要了解增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減�。粚ΨQ軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減��；圓和點的位置關系：以點P與圓O的為例（設P是一點，則PO是點到圓心的距離），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O內，PO＜r才能得出正確答案．