Question

15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（2，2），B（3，0），拋物線y=ax²+bx+2經(jīng)過A，B兩點．
（1）a=-$\frac{2}{3}$，b=$\frac{4}{3}$；
（2）若點D為線段OB上一點，連接AD，作AC⊥AD交y軸正半軸于點C．
①當(dāng)點D坐標(biāo)為（$\frac{2}{3}$，0）時，AC經(jīng)過y=ax²+bx+2的頂點P；
②連結(jié)CD、AB，設(shè)△ADC與△ABD的面積之差為S，問：當(dāng)點D在何處時S最小，并求出這個最小值．

Answer 1

分析 （1）把A、B坐標(biāo)代入可求得答案；
（2）①設(shè)拋物線與y軸交于點E，連接AE，過A作AF⊥x軸于點F，由條件可證明△AEC≌△AFD，則可求得D點坐標(biāo)；②

解答 解：
（1）∵拋物線y=ax²+bx+2經(jīng)過A，B兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+2=2}\\{9a+3b+2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{b=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
故答案為：-$\frac{2}{3}$；$\frac{4}{3}$；
（2）①由（1）知，經(jīng)過A、B、P的拋物線為y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+2，故頂點P的坐標(biāo)為（1，$\frac{8}{3}$）．
如圖1，設(shè)拋物線與y軸交于點E，連接AE，則AE∥x軸，過點A作AF⊥x于點F，

則AE=AF=2，
∵∠CAD=∠EAF=90°，
∴∠CAE=∠FAD
在△ACE與△ADF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAE=∠FAD}\\{∠CEA=∠AFD=90°}\\{AE=AF}\end{array}\right.$
∴△ACE≌△ADF（AAS）．
∴CE=DF，
設(shè)直線AP解析式為y=kx+s，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2k+s=2}\\{k+s=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{2}{3}}\\{s=\frac{10}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線AP解析式為y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{10}{3}$，令x=0可得y=$\frac{10}{3}$，
∴OC=$\frac{10}{3}$，且OE=2，
∴DF=CE=$\frac{10}{3}$-2=$\frac{4}{3}$，
∵F（2，0），
∴OF=2，
∴OD=OF-DF=2-$\frac{4}{3}$=$\frac{2}{3}$，
∴D（$\frac{2}{3}$，0），
故答案為：（$\frac{2}{3}$，0）；
②設(shè)BD=a，則FD=a-1，
∴AD²=DF²+AF²=（a-1）²+2²=a²-2a+5，
又AC=AD，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$AC•AD=$\frac{1}{2}$（a²-2a+5），
又∵S_△ADB=$\frac{1}{2}$DC•AD=$\frac{1}{2}$×a×2=a，
∴S=$\frac{1}{2}$（a²-2a+5）-a=$\frac{1}{2}$a²-2a+$\frac{5}{2}$，
即S=$\frac{1}{2}$（a-2）²+$\frac{1}{2}$；
∴當(dāng)a=2（在0＜a＜3范圍內(nèi)）時，S_最小值=$\frac{1}{2}$，
即當(dāng)點D在（1，0）時，S最小值為$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、全等三角形的判定和性質(zhì)以及三角形面積的求法等重要知識點，能夠正確的將求圖形面積最大（�。﹩栴}轉(zhuǎn)換為二次函數(shù)求最值的問題是解答（2）②題的關(guān)鍵．