Question

14．如圖甲所示，已知電源電壓為60V且保持不變，電阻R₁標(biāo)有“35V 245W”的字樣，R₂是一個最大阻值為70Ω的滑動變阻器，電阻R₃的額定電流為7A（不計溫度對電阻的影響）．求：

（1）R₁的阻值；
（2）R₁正常工作100s消耗的電能；
（3）閉合S，當(dāng)R₂的阻值為R_m時，V₁的示數(shù)為U₁，V₂的示數(shù)為U₂；當(dāng)R₂的阻值為R₀時，V₁的示數(shù)為U′₁，V₂的示數(shù)為U′₂；已知U′₁=$\frac{3}{4}$U₁，U′₂=$\frac{9}{10}$U₂，U₁=$\frac{4}{5}$U₂，求R₃的阻值；
（4）在電路安全的前提下，小天同學(xué)用以上器材組成一個如乙圖所示的電路：在R₁、R₂和R₃ 中任選兩個電阻分別連入電路的“AB”和“CD”處，組成不同的電路，在同一電路中兩個電阻的功率之差如果超過200W，電路外的檢測裝置將自動報警，請通過計算和推導(dǎo)，判斷哪些電路始終不會導(dǎo)致檢測裝置報警，哪些電路會導(dǎo)致檢測裝置報警，并計算報警時R₂的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由P=$\frac{{U}^{2}}{R}$計算R₁的阻值；
（2）由P=$\frac{W}{t}$計算R₁正常工作100s消耗的電能；
（3）由圖知，三個電阻串聯(lián)，電壓表V₁測R₁和R₂的電壓，電壓表V₂測R₃和R₂的電壓，根據(jù)串聯(lián)電路中電流、電壓特點和歐姆定律表示出R₂連入不同阻值時R₁和R₃的電流，解方程可得U₁、U₂，從而計算出R₃的阻值；
（4）分析將三個電阻接入AB和CD處，由三個電阻的規(guī)格和兩電阻功率差要求，根據(jù)電路特點和電功率計算分析判斷．

解答 解：
（1）由題知R₁的額定電壓和額定功率，由P=$\frac{{U}^{2}}{R}$可得R₁的阻值：
R₁=$\frac{{U}_{額}^{2}}{{P}_{額}}$=$\frac{（{35V）}^{2}}{245W}$=5Ω；
（2）由P=$\frac{W}{t}$可得R₁正常工作100s消耗的電能：
W=P_額t=245W×100s=2.45×10⁴J；
（3）由圖甲知，三個電阻串聯(lián)，電壓表V₁測R₁和R₂的電壓，電壓表V₂測R₃和R₂的電壓，
由串聯(lián)電路特點當(dāng)R₂的阻值為R_m時：I_R1=I_R3，
歐姆定律有：$\frac{U-{U}_{2}}{{R}_{1}}$=$\frac{U-{U}_{1}}{{R}_{3}}$…①
因為U₁=$\frac{4}{5}$U₂，所以：$\frac{U-{U}_{2}}{{R}_{1}}$=$\frac{U-\frac{4}{5}{U}_{2}}{{R}_{3}}$，即：$\frac{60V-{U}_{2}}{{R}_{1}}$=$\frac{60V-\frac{4}{5}{U}_{2}}{{R}_{3}}$…②
同理，當(dāng)R₂的阻值為R₀時，I_R1′=I_R3′，
$\frac{U-{U}_{2}′}{{R}_{1}}$=$\frac{U-{U}_{1}′}{{R}_{3}}$，
因為U′₁=$\frac{3}{4}$U₁，U′₂=$\frac{9}{10}$U₂，所以：$\frac{U-\frac{9}{10}{U}_{2}}{{R}_{1}}$=$\frac{U-\frac{3}{4}{U}_{1}}{{R}_{3}}$=$\frac{U-\frac{3}{4}×\frac{4}{5}{U}_{2}}{{R}_{3}}$=$\frac{U-\frac{3}{5}{U}_{2}}{{R}_{3}}$，即：$\frac{60V-\frac{9}{10}{U}_{2}}{{R}_{1}}$=$\frac{60V-\frac{3}{5}{U}_{2}}{{R}_{3}}$…③
②÷③得：$\frac{3}{25}$U₂²-6U₂=0，
解得：U₂=50V，
所以：U₁=$\frac{4}{5}$U₂=$\frac{4}{5}$×50V=40V；
將U₁、U₂代入①可得：R₃=2R₁=2×5Ω=10Ω；
（4）已知R₁的額定電壓35V，額定功率245W，由P=UI可得R₁正常工作電流：I₁=$\frac{{P}_{額}}{{U}_{額}}$=$\frac{245W}{35V}$=7A；
變阻器最大值R₂=70Ω；R₃=10Ω，額定電流I₃=7A．
電阻分別連入電路的“AB”和“CD”處兩電阻串聯(lián)，
①若將R₁和R₃分別接入AB、CD間，由串聯(lián)電路特點和歐姆定律可得電路中電流：
I=$\frac{U}{{R}_{1}+{R}_{3}}$=$\frac{60V}{5Ω+10Ω}$=4A，
由P=I²R可得：P₃-P₁=I²R₃-I²R₁=（4A）²×10Ω-（4A）²×5Ω=80W＜200W，不會導(dǎo)致檢測裝置報警；
②若將R₁和R₂分別接入AB、CD間，電路中最大電流I=I₁=7A，此時變阻器連入阻值最小，
此時R₁正常工作，即P₁=245W，
P₂=U₂I=（U-U_額）I=（60V-35V）×7A=175W，
P₁-P₂=245W-175W=70W＜200W，
由串聯(lián)電路特點和歐姆定律以及電功率公式有：
R₂的功率：P₂=I²R₂=（$\frac{U}{{R}_{1}+{R}_{2}}$）²×R₂=$\frac{{U}^{2}{R}_{2}}{（{{R}_{1}-{R}_{2}）}^{2}+4{R}_{1}{R}_{2}}$
當(dāng)R₁=R₂=5Ω時R₂的功率有最大值，P_2最大=$\frac{{U}^{2}{R}_{2}}{4{R}_{1}{R}_{2}}$=$\frac{（{60V）}^{2}×5Ω}{4×5Ω×5Ω}$=180W，
此時R₁的功率：P₁=P_2最大=180W，兩電阻功率差不超過200W；
③若將R₂和R₃分別接入AB、CD間，
若連入阻值為0，功率為0，則P₃=$\frac{{U}^{2}}{{R}_{3}}$=$\frac{（60V）^{2}}{10Ω}$=360W，兩電阻功率差大于200W，檢測裝置會報警；
兩電阻功率差不超過200W，
由串聯(lián)電路特點、歐姆定律和電功率公式有：
P₃-P₂=I²R₃-I²R₂=I²（R₃-R₂）=（$\frac{U}{{R}_{3}+{R}_{2}}$）²（R₃-R₂）≤200W，
即：（$\frac{60V}{10Ω+{R}_{2}}$）²（10Ω-R₂）≤200W，
解得：R₂≥2Ω、R₂≥-40Ω（舍去），
所以報警時變阻器R₂的取值范圍為0-2Ω．
答：（1）R₁的阻值為5Ω；
（2）R₁正常工作100s消耗的電能為2.45×10⁴J；
（3）R₃的阻值為10Ω；
（4）R₁和R₃、R₁和R₂分別接入電路始終不會導(dǎo)致檢測裝置報警，R₂和R₃分別接入電路會導(dǎo)致檢測裝置報警，報警時R₂的取值范圍0-2Ω．

點評 本題考查了串聯(lián)電路特點、歐姆定律電功率公式的應(yīng)用，正確識別電路的連接方式和電壓表所測電壓，充分利用串聯(lián)電路特點和R₂取值不同情況下電壓表示數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．本題計算計算量大，過程復(fù)雜，有相當(dāng)?shù)碾y度．