Question

8．圖中給出了一段“S”形單行盤山公路的示意圖．彎道1、彎道2可看作兩個(gè)不同水平面上的圓弧，圓心分別為O₁、O₂，彎道中心線半徑分別為r₁=10m，r₂=20m，彎道2比彎道1高h(yuǎn)=12m，有一直道與兩彎道圓弧相切．質(zhì)量m=1200kg的汽車通過彎道時(shí)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，路面對(duì)輪胎的最大徑向靜摩擦力時(shí)車重的1.25倍，行駛時(shí)要求汽車不打滑．（sin37°=0.6，sin53°=0.8）
（1）求汽車沿彎道1中心線行駛時(shí)的最大速度v₁；
（2）汽車以v₁進(jìn)入直道，以P=30kW的恒定功率直線行駛了t=8.0s進(jìn)入彎道2，此時(shí)速度恰為通過彎道中心線的最大速度，求直道上除重力以外的阻力對(duì)汽車做的功；
（3）汽車從彎道1的A點(diǎn)進(jìn)入，從同一直徑上的B點(diǎn)駛離，有經(jīng)驗(yàn)的司機(jī)會(huì)利用路面寬度，用最短時(shí)間勻速安全通過彎道．設(shè)路寬d=10m，求此最短時(shí)間（A、B兩點(diǎn)都在軌道中心線上，計(jì)算時(shí)視汽車為質(zhì)點(diǎn)）．

Answer 1

分析 （1）汽車拐彎時(shí)靠靜摩擦力提供向心力，當(dāng)靜摩擦力達(dá)到最大時(shí)，汽車的速度最大，根據(jù)牛頓第二定律求出汽車沿彎道1中心線行駛時(shí)的最大速度v₁；
（2）同理求出汽車沿彎道2中心線行駛時(shí)的最大速度v₂，再研究汽車在直道上行駛的過程，運(yùn)用動(dòng)能定理求阻力對(duì)汽車做的功；
（3）當(dāng)汽車沿著與彎道1內(nèi)切的弧線運(yùn)動(dòng)時(shí)時(shí)間最短，且速度最大，根據(jù)幾何關(guān)系求出該弧線的半徑，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求最短時(shí)間．

解答 解：（1）當(dāng)汽車所受的靜摩擦力達(dá)到最大時(shí)，速度最大，
根據(jù)牛頓第二定律得：kmg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$，
解得汽車沿彎道1中心線行駛時(shí)的最大速度為：
v₁=$\sqrt{kg{r}_{1}}$=$\sqrt{1.25×10×10}$m/s=5$\sqrt{5}$m/s．
（2）汽車沿彎道2的最大速度設(shè)為v₂．由牛頓第二定律得：
kmg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{{r}_{2}}$
代入數(shù)據(jù)解得：v₂=5$\sqrt{10}$m/s，
汽車直道上行駛的過程，由動(dòng)能定理得：
Pt-mgh+W_阻=$\frac{1}{2}$m${v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}$m${v}_{1}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得阻力對(duì)汽車做的功為：W_阻=-2.1×10⁴J．
（3）用時(shí)最短時(shí)必須速度最大，且路程最短，
即沿如圖所示內(nèi)切的路線行駛時(shí)時(shí)間最短．（黑色兩端分別是A、B）

由圖可得：r′²=${r}_{1}^{2}$+[r′+（r₁-$\fracma4mc4w{2}$）]²，
代入數(shù)據(jù)解得：r′=12.5m
汽車沿該線路行駛的最大速度設(shè)為v′．
則有：kmg=m$\frac{v{′}^{2}}{r′}$
代入數(shù)據(jù)解得：v′=12.5m/s
由sinθ=$\frac{{r}_{1}}{r′}$=0.8
則對(duì)應(yīng)的圓心角為：2θ=106°
線路的長(zhǎng)度為：s=$\frac{106}{360}$×2πr′，
解得：s=23.1m，
所以最短時(shí)間為：t′=$\frac{s}{v′}$=$\frac{23.1}{12.5}$s≈1.85s
答：（1）汽車沿彎道1中心線行駛時(shí)的最大速度v₁是5$\sqrt{5}$m/s；
（2）直道上除重力以外的阻力對(duì)汽車做的功是-2.1×10⁴J；
（3）此最短時(shí)間是1.85s．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道汽車拐彎時(shí)向心力的來源，結(jié)合牛頓第二定律求得汽車的最大速度，同時(shí)，要能靈活運(yùn)用幾何知識(shí)求得最短的線路長(zhǎng)度．