Question

過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1 (a＞0，b＞0)的左焦點F₁作圓x²+y²=a²的切線交雙曲線右支于點P，切點為T，F(xiàn)₁P中點M在第一象限，則以下正確的是（　�。�

A．b-a＜|MO|-|MT|

B．b-a＞|MO|-|MT|

C．b-a=|MO|-|MT|

D．b-a與|MO|-|MT|大小不定

Answer 1

分析：先從雙曲線方程得：a，b．連OT，則OT⊥F₁T，在直角三角形OTF₁中，|F₁T|=b．連PF₂，M為線段F₁P的中點，O為坐標原點得出|MO|-|MT|=

1

2

PF₂-（

1

2

MF₁-F₁T）=

1

2

（PF₂-MF₁）-b最后結合雙曲線的定義得出答案．

解答：解：連OT，則OT⊥F₁T，
在直角三角形OTF₁中，|F₁T|=

OF 1 2 -OT 2

=

c 2-a 2

=b．
連PF₂，M為線段F₁P的中點，O為坐標原點
∴OM=

1

2

PF₂，
∴|MO|-|MT|=

1

2

PF₂-（

1

2

PF₁-F₁T）=

1

2

（PF₂-PF₁）-b
=

1

2

×2a-b=a-b．
故選C．

點評：本題主要考查橢圓的定義及三角形中位線和直線與圓相切時應用勾股定理．解答的關鍵是熟悉雙曲線的定義的應用，直線與圓的位置關系以及三角形中的有關結論．