Question

（2010•臺州二模）由數(shù)字1，2，3，4組成五位數(shù)

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，從中任取一個(gè)．
（I）求取出的數(shù)滿足條件：“對任意的正整數(shù)j（1≤j≤5），至少存在另一個(gè)正整數(shù)k（1≤k≤5，且k≠j），使得a_j=a_k”的概率；
（II）記ξ為組成這個(gè)數(shù)的相同數(shù)字的個(gè)數(shù)的最大值，求ξ的分布列和期望．

Answer 1

分析：（I）由數(shù)字1，2，3，4組成的五位數(shù)

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a1a2a3a4a5

共有4⁵個(gè)，數(shù)滿足條件可分為兩類，一類只由一個(gè)數(shù)字組成，共有4個(gè)，一類是由兩個(gè)數(shù)字組成，共有C₄²•C₅²•2=120個(gè)，根據(jù)等可能事件的概率公式解之即可；
（II）由題意ξ可能的取值為2、3、4、5，然后分別求出相應(yīng)的概率，列出ξ的分布列，最后利用離散型隨機(jī)變量的期望公式解之即可．

解答：解：（I）由數(shù)字1，2，3，4組成的五位數(shù)

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a1a2a3a4a5

共有4⁵個(gè)
數(shù)滿足條件：“對任意的正整數(shù)j（1≤j≤5），至少存在另一個(gè)正整數(shù)k（1≤k≤5），使得a_j=a_k”的五位數(shù)

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a1a2a3a4a5

可分為兩類：
（i）只由一個(gè)數(shù)字組成，如11111，22222，等共有4個(gè)；
（ii）由兩個(gè)數(shù)字組成，如11122，11133等，共有C₄²•C₅²•2=120個(gè)
由（i）、（ii）知共有124個(gè)------（6分）
∴所求概率p=

124

45

=

31

256

．------（7分）
（II）由題意ξ可能的取值為2、3、4、5------（8分）
P(ξ=5)=

4

45

=

1

256

P(ξ=4)=

C54•C41•C31

45

=

15

256

P(ξ=3)=

C53•C41•32

45

=

90

256

P（ξ=2）=1-[P（ξ=3）+P（ξ=4）+P（ξ=5）]=

150

256

------（12分）ξ的分布列為：

ξ	2	3	4	5
P	150 256	90 256	15 256	1 256

∴Eξ=2•P（ξ=2）+3•P（ξ=3）+4•P（ξ=4）+5•P（ξ=5）=

635

256

．------（14分）

點(diǎn)評：本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和分布列，以及等可能事件的概率，同時(shí)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．