Question

15．設(shè)向量$\overrightarrow{m}$=（sinx，-1），向量$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$cosx，-$\frac{1}{2}$），函數(shù)f（x）=（$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$）•$\overrightarrow{m}$．
（1）求f（x）的最小正周期T；
（2）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，a=2$\sqrt{3}$，c=4，若f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值為f（A），求A和b．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡f（x），根據(jù)周期公式計(jì)算周期；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求出A，利用正弦定理計(jì)算C=$\frac{π}{2}$，易求出b．

解答 解：（1）f（x）=${\overrightarrow{m}}^{2}$+$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=sin²x+1+$\sqrt{3}$sinxcosx+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$（1-cos2x）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{3}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x+2=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2，
∴f（x）的最小正周期為T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$即x=$\frac{π}{3}$時(shí)，f（x）取得最大值f（$\frac{π}{3}$），
∴A=$\frac{π}{3}$．
由正弦定理得：$\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}$，
∴sinC=$\frac{csinA}{a}$=1，∴C=$\frac{π}{2}$，
∴b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，三角恒等變換與解三角形，屬于中檔題．