Question

1．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左焦點F和上頂點B在直線$3x-\sqrt{3}y+3=0$上，A為橢圓上位于x軸上方的一點，且AF⊥x軸，M，N為橢圓C上不同于A的兩點，且∠MAF=∠NAF．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線MN與y軸交于點D（0，d），求實數(shù)d的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得直線$3x-\sqrt{3}y+3=0$在坐標(biāo)軸的交點，可得F，B的坐標(biāo)，即有b，c，再由a，b，c的關(guān)系可得a的值，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）設(shè)直線AM的斜率為k，由∠MAF=∠NAF，可得直線AM，AN關(guān)于直線AF對稱，可得直線AN的斜率為-k，求得A的坐標(biāo)，設(shè)出直線AM的方程，聯(lián)立橢圓方程，運用韋達(dá)定理，可得M的橫坐標(biāo)，將k換為-k，可得N的橫坐標(biāo)，運用直線的斜率公式可得直線MN的斜率，進(jìn)而得到直線MN的方程，聯(lián)立橢圓方程，運用判別式大于0，解方程可得d的范圍；再由A在直線MN上，解不等式可得d的范圍，求交集，即可得到所求d的范圍．

解答 解：（1）由左焦點F和上頂點B在直線$3x-\sqrt{3}y+3=0$上，
可得F（-1，0），B（0，$\sqrt{3}$），
即有c=1，b=$\sqrt{3}$，
a=$\sqrt{{c}^{2}+^{2}}$=2，
則橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）設(shè)直線AM的斜率為k，由∠MAF=∠NAF，
可得直線AM，AN關(guān)于直線AF對稱，
可得直線AN的斜率為-k，
令x=-1，可得A（-1，$\frac{3}{2}$），
設(shè)直線AM的方程為y-$\frac{3}{2}$=k（x+1），
聯(lián)立橢圓方程3x²+4y²=12，
可得（3+4k²）x²+（12+8k）kx+（4k²+12k-3）=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由-x₁=$\frac{4{k}^{2}+12k-3}{3+4{k}^{2}}$，即有x₁=-$\frac{4{k}^{2}+12k-3}{3+4{k}^{2}}$，
將上式中的k換為-k，可得x₂=-$\frac{4{k}^{2}-12k-3}{3+4{k}^{2}}$．
y₁=k（x₁+1）+$\frac{3}{2}$，y₂=-k（x₂+1）+$\frac{3}{2}$，
則直線MN的斜率為$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{k（{x}_{1}+{x}_{2}+2）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$
=$\frac{k（-8{k}^{2}+6+6+8{k}^{2}）}{-24k}$=-$\frac{1}{2}$，
由直線MN與y軸交于點D（0，d），
可得直線MN的方程為y=-$\frac{1}{2}$x+d，
代入橢圓3x²+4y²=12，
可得x²+dx+d²-3=0，
由△=d²-4（d²-3）＞0，解得-2＜d＜2，
由A在直線MN的上方，可得$\frac{3}{2}$＞-$\frac{1}{2}$×（-1）+d，
解得d＜1．
可得-2＜d＜1．
則實數(shù)d的取值范圍為（-2，1）．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用直線在坐標(biāo)軸上的交點，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達(dá)定理，考查直線斜率公式和方程的求法，以及點與直線的位置關(guān)系，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．