Question

12．設(shè)直線l：（a+1）x+y+2-a=0，（a∈R）
（1）求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)a，該直線恒過一定點(diǎn)；
（2）當(dāng)直線l與圓x²+y²=16相交截得的弦長(zhǎng)最小時(shí)，求此時(shí)a的值及弦長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

分析 （1）把直線的方程分離參數(shù)，令參數(shù)的系數(shù)等于0，求得x、y的值，可得此直線經(jīng)過的定點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）當(dāng)直線l過定點(diǎn)M（1，-3）且垂直于過該點(diǎn)的圓O的半徑時(shí)，l被截得的弦長(zhǎng)最短．

解答 （1）證明：直線（a+1）x+y+2-a=0，即 a（x-1）+（x+y+2）=0，
令x-1=0，求得x=1，y=-3，可得此直線經(jīng)過定點(diǎn)（1，-3）．
（2）解：設(shè)直線與圓交于A、B兩點(diǎn)．
當(dāng)直線l過定點(diǎn)M（1，-3）且垂直于過點(diǎn)M的圓O的半徑時(shí)，l被截得的弦長(zhǎng)|AB|最短．
因?yàn)閨AB|=2$\sqrt{|BO{|}^{2}-|OM{|}^{2}}$=2$\sqrt{16-[{1}^{2}+（-3）^{2}]}$=2$\sqrt{6}$，
此時(shí)k_AB=-$\frac{1}{{k}_{OM}}$=$\frac{1}{3}$．
故a+1=-$\frac{1}{3}$，則a=-$\frac{4}{3}$．
直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)最小值為2$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線系方程，本題通過恒過定點(diǎn)問題來考查學(xué)生方程轉(zhuǎn)化的能力及直線系的理解．