Question

13．已知函數(shù)h（x）=x²+2x+alnx（a∈R），f（x）=（x²-2x）lnx+ax²+2．
（1）討論函數(shù)y=h（x）的單調性；
（2）當a＞0時，設函數(shù)g（x）=f（x）-x-2且函數(shù)g（x）有且只有一個零點，若e^-2＜x＜e，g（x）≤m，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）討論a，判斷h′（x）的符號，得出h（x）的單調性；
（2）利用函數(shù)圖象計算出a，根據(jù)導數(shù)判斷g（x）的單調性，求出g（x）在（e^-2，e）上的最大值即可得出m的范圍．

解答 解：（1）由題意可知x＞0，h′（x）=2x+2+$\frac{a}{x}$=$\frac{2{x}^{2}+2x+a}{x}$，
令m（x）=2x²+2x+a，則m（x）在（0，+∞）上單調遞增，
∴m（x）＞m（0）=a，
∴當a≥0時，m（x）＞0，即h′（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上單調遞增；
當a＜0時，令m（x）=0得x=$\frac{\sqrt{1-2a}-1}{2}$，
∴當0＜x＜$\frac{\sqrt{1-2a}-1}{2}$時，m（x）＜0，當x＞$\frac{\sqrt{1-2a}-1}{2}$時，m（x）＞0，
∴當0＜x＜$\frac{\sqrt{1-2a}-1}{2}$時，h′（x）＜0，當x＞$\frac{\sqrt{1-2a}-1}{2}$時，h′（x）＞0，
∴h（x）在（0，$\frac{\sqrt{1-2a}-1}{2}$）上單調遞減，在（$\frac{\sqrt{1-2a}-1}{2}$，+∞）上單調遞增．
綜上，當a≥0時，h（x）在（0，+∞）上單調遞增，
當a＜0時，h（x）在（0，$\frac{\sqrt{1-2a}-1}{2}$）上單調遞減，在（$\frac{\sqrt{1-2a}-1}{2}$，+∞）上單調遞增．
（2）g（x）=（x²-2x）lnx+ax²-x，
∵g（x）有且只有一個零點，∴（x²-2x）lnx=x-ax²只有一解，
即lnx=$\frac{x-a{x}^{2}}{{x}^{2}-2x}$有一解，
作出y=lnx與y=$\frac{x-a{x}^{2}}{{x}^{2}-2x}$=-a+$\frac{1-2a}{x-2}$的函數(shù)圖象，

若1-2a＞0即a$＜\frac{1}{2}$時，兩函數(shù)有兩個交點，不符合題意，
當1-2a＜0即a$＞\frac{1}{2}$時，若兩函數(shù)只有1個交點，則y=lnx與y=-a+$\frac{1-2a}{x-2}$有一條公共切線，
設切點為（x₀，y₀），則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{x}_{0}}=-\frac{1-2a}{（{x}_{0}-2）^{2}}}\\{ln{x}_{0}=-a+\frac{1-2a}{{x}_{0}-2}}\end{array}\right.$，解得x₀=1，a=1．
∴g（x）=（x²-2x）lnx+x²-x，g′（x）=（2x-2）lnx+x-2+2x-1=（2x-2）lnx+3x-3=（x-1）（2lnx+3），
令g′（x）=0得x=1或x=e${\;}^{-\frac{3}{2}}$，
∴當0＜x＜e${\;}^{-\frac{3}{2}}$或x＞1時，g′（x）＞0，當e${\;}^{-\frac{3}{2}}$＜x＜1時，g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，e${\;}^{-\frac{3}{2}}$）上單調遞增，在（e${\;}^{-\frac{3}{2}}$，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增．
∵e^-2＜e${\;}^{-\frac{3}{2}}$＜1＜e，
∴g（x）在（e^-2，e${\;}^{-\frac{3}{2}}$）上單調遞增，在（e${\;}^{-\frac{3}{2}}$，1）上單調遞減，在（1，e）上單調遞增．
∵g（e${\;}^{-\frac{3}{2}}$）=-$\frac{1}{2}$e^-3+2e${\;}^{-\frac{3}{2}}$，g（1）=0，
令m（x）=-$\frac{1}{2}$x²+2x=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+2，則m（x）在（0，2）上單調遞增，
∴m（e${\;}^{-\frac{3}{2}}$）＞m（0）=0，即g（e${\;}^{-\frac{3}{2}}$）＞0，∴g（e${\;}^{-\frac{3}{2}}$）＞g（1），
∴當e^-2＜x＜e時，g（x）≤-$\frac{1}{2}$e^-3+2e${\;}^{-\frac{3}{2}}$．
∴m≥-$\frac{1}{2}$e^-3+2e${\;}^{-\frac{3}{2}}$．

點評 本題考查了導數(shù)與函數(shù)單調性的關系，函數(shù)最值得計算，屬于中檔題．