Question

1．已知函數(shù)f（x）=|x+1|-|x-1|+a（a∈R）．
（Ⅰ）若a=1，求不等式f（x）≥0的解集；
（Ⅱ）若方程f（x）=x有三個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)絕對值的意義，求得不等式f（x）≤6的解集．
（Ⅱ）函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x有3個(gè)不同的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵a=1時(shí)，f（x）=|x+1|-|x-1|+1，
∴當(dāng)x≤-1時(shí)，f（x）=-1，不可能非負(fù)．
當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，f（x）=2x+1，由f（x）≥0可解得x≥$-\frac{1}{2}$，于是$-\frac{1}{2}$≤x＜1．
當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）=3＞0恒成立．
∴不等式f（x）≥0的解集$[-\frac{1}{2}\;，\;\;+∞）$．…（5分）
（Ⅱ）由方程f（x）=x可變形為a=x+|x-1|-|x+1|．
令$h（x）=x+|{x-1}|-|{x+1}|=\left\{\begin{array}{l}x+2，x＜-1\\-x，\;\;\;-1≤x≤1\\ x-2，x＞1\end{array}\right.$
作出圖象如右． …（8分）
于是由題意可得-1＜a＜1．…（10分）

點(diǎn)評 本題主要絕對值的意義，方程根的存在性以及個(gè)數(shù)判斷，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．