Question

9．已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PD，∠BAD=60°，E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在側(cè)棱PC上．
（I）求證：AD⊥平面PBE；
（II）若Q是PC的中點(diǎn)，求證PA∥平面BDQ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用線面垂直的判定證明，關(guān)鍵是證明AD⊥PE，AD⊥BE；
（Ⅱ）連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OQ，證明OQ∥PA，即可得到結(jié)論．

解答 證明：（Ⅰ）由E是AD的中點(diǎn)，PA=PD，所以AD⊥PE…（2分）
又底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，

所以AB=BD，又因?yàn)镋是AD的中點(diǎn)，
所以AD⊥BE…（4分）
又PE∩BE=E…（5分）
所以AD⊥平面PBE…（6分）
（Ⅱ）連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OQ…（7分）
因?yàn)镺是AC的中點(diǎn)，Q是PC的中點(diǎn)，所以O(shè)Q∥PA…（9分）
又PA?平面BDQ…（10分）
OQ?平面BDQ…（11分）
所以PA∥平面BDQ…（12分）

點(diǎn)評 本題考查線面垂直，考查線面平行，解題的關(guān)鍵是掌握線面垂直、線面平行的判定，屬于中檔題．