Question

（本小題滿分13分）已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，離心率．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過橢圓的右焦點(diǎn)作與坐標(biāo)軸不垂直的直線，交橢圓于、兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，求的取值范圍；

（3）設(shè)點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得、、三點(diǎn)共線？若存

在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）；（2）；（3）在軸上存在定點(diǎn)，使得、、三點(diǎn)共線．

【解析】

試題分析：（1）由橢圓的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)出橢圓方程，然后由已知條件列出關(guān)于的方程組，從而解出，得到橢圓方程；（2）因?yàn)橹本�過橢圓的右焦點(diǎn)，且與坐標(biāo)軸不垂直，所以設(shè)直線：（），與橢圓方程聯(lián)立可得，設(shè)則，由韋達(dá)定理得，.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015060906061140752106/SYS201506090606216361661226_DA/SYS201506090606216361661226_DA.019.png">，所以，代入坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理可得即，解得；（3）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使得、、三點(diǎn)共線，由點(diǎn)坐標(biāo)可以求得點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到直線的方程為，令，則 ，再由點(diǎn)在直線上，得到 ，代入中化簡(jiǎn)既得.

試題解析：（1）設(shè)橢圓方程為，由題意，

又 ，∴，故橢圓方程為 ． 4分

（2）由（1）得右焦點(diǎn)，則，設(shè)的方程為（）代入，得

，∴，設(shè)

則，， 且， ．

∴，

由，得，

，

，

，

∴當(dāng)時(shí)，有成立． 9分

（3）在軸上存在定點(diǎn)，使得、、三點(diǎn)共線．依題意，

直線的方程為，令，則 ，

點(diǎn)在直線上， ∴ ，

∴

，

∴ 在軸上存在定點(diǎn)，使得、、三點(diǎn)共線． 13分

考點(diǎn)：（1）求橢圓方程；（2）直線與圓錐曲線；（3）圓錐曲線中的存在性問題.