Question

9．與橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1有相同的焦點，且離心率為$\frac{\sqrt{5}}{5}$的橢圓標準方程為$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{20}=1$．

Answer 1

分析 由已知得所求橢圓的焦點坐標為（±$\sqrt{5}$，0），離心率為$\frac{\sqrt{5}}{5}$，由此能求出橢圓方程．

解答 解：由橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
得a²=9，b²=4，
∴c²=a²-b²=5，
∴該橢圓的焦點坐標為（±$\sqrt{5}$，0）．
設(shè)所求橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，a＞b＞0，
則$c=\sqrt{5}$，又$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，解得a=5．
∴b²=25-5=20．
∴所求橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{20}=1$．
故答案為：$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{20}=1$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，解題時要注意橢圓性質(zhì)的合理運用，是基礎(chǔ)題．