Question

18．已知{a_n}是由正數(shù)組成的數(shù)列，前n項(xiàng)和為S_n，且滿足：a_n+$\frac{1}{2}$=$\sqrt{2{S}_{n}+\frac{1}{4}}$（n≥1，n∈N⁺），則a_n=n．

Answer 1

分析 a_n+$\frac{1}{2}$=$\sqrt{2{S}_{n}+\frac{1}{4}}$（n≥1，n∈N⁺），n=1時(shí)，a₁+$\frac{1}{2}$=$\sqrt{2{a}_{1}+\frac{1}{4}}$，解得a₁．n≥2時(shí)，平方相減可得$（{a}_{n}+\frac{1}{2}）^{2}$-$（{a}_{n-1}+\frac{1}{2}）^{2}$=2a_n，化為：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，可得a_n-a_n-1=1，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：∵a_n+$\frac{1}{2}$=$\sqrt{2{S}_{n}+\frac{1}{4}}$（n≥1，n∈N⁺），
∴n=1時(shí)，a₁+$\frac{1}{2}$=$\sqrt{2{a}_{1}+\frac{1}{4}}$，解得a₁=1，
n≥2時(shí)，$（{a}_{n}+\frac{1}{2}）^{2}$=2S_n+$\frac{1}{4}$，$（{a}_{n-1}+\frac{1}{2}）^{2}$=2${S}_{n-1}+\frac{1}{4}$，
∴$（{a}_{n}+\frac{1}{2}）^{2}$-$（{a}_{n-1}+\frac{1}{2}）^{2}$=2a_n，
化為：$（{a}_{n}-\frac{1}{2}）^{2}$-$（{a}_{n-1}+\frac{1}{2}）^{2}$=0，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=1，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
故答案為：n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．