Question

1．已知變量x，y（x，y∈R）滿足約束條件$\left\{{\begin{array}{l}{x-y≤0}\\{x+y≥5}\\{y-3≤0}\end{array}}\right.$，若不等式（x+y）²≥c（x²+y²）（c∈R）恒成立，則實(shí)數(shù)c的最大值為$\frac{25}{13}$．

Answer 1

分析 利用分式不等式的性質(zhì)將不等式進(jìn)行分類，結(jié)合線性規(guī)劃以及恒成立問題．利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：由題意知：可行域如圖，
又∵（x+y）²≥c（x²+y²）（在可行域內(nèi)恒成立）．
且c≤$\frac{（x+y）^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=1+$\frac{2xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=1+$\frac{\frac{2y}{x}}{1+（\frac{y}{x}）^{2}}$=1+$\frac{2}{\frac{1}{\frac{y}{x}}+\frac{y}{x}}$，
故只求z=1+$\frac{2}{\frac{1}{\frac{y}{x}}+\frac{y}{x}}$的最大值即可．
設(shè)k=$\frac{y}{x}$，則有圖象知A（2，3），
則OA的斜率k=$\frac{3}{2}$，BC的斜率k=1，
由圖象可知即1≤k≤$\frac{3}{2}$，
∵z=k+$\frac{1}{k}$在[1，$\frac{3}{2}$]上為增函數(shù)，
∴當(dāng)k=$\frac{3}{2}$時(shí)，z取得最大值z(mì)=$\frac{3}{2}$+$\frac{2}{3}$=$\frac{13}{6}$，
此時(shí)1+$\frac{2}{z}$=1+$\frac{2}{\frac{13}{6}}$=1+$\frac{12}{13}$=$\frac{25}{13}$，
故c≤$\frac{25}{13}$，
故c的最大值為$\frac{25}{13}$，
故答案為：$\frac{25}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃、基本不等式、還有函數(shù)知識(shí)考查的綜合類題目．在解答過(guò)程當(dāng)中，同學(xué)們應(yīng)該仔細(xì)體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想、函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想還有恒成立思想在題目中的體現(xiàn)．