Question

11．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{4}{x}$
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）判斷f（x）在（2，+∞）上的單調(diào)性并予以證明；
（3）求f（x）在[3，4]上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)的奇偶性的定義，判斷函數(shù)的奇偶性．
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義，判斷函數(shù)的單調(diào)性．
（3）函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）在[3，4]上的值域．

解答 解：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
再根據(jù)$f（-x）=-x-\frac{4}{x}=-f（x）$，可得f（x）為奇函數(shù)．
（2）任取x₁，x₂∈[2，+∞），令 x₁＜x₂，∵$f（{x_1}）-f（{x_2}）={x_1}+\frac{4}{x_1}-（{x_2}+\frac{4}{x_2}）$=${x_1}-{x_2}+\frac{{4（{x_2}-{x_1}）}}{{{x_1}{x_2}}}=（{x_1}-{x_2}）（1-\frac{4}{{{x_1}{x_2}}}）$=$\frac{{（{x_1}-{x_2}）（{x_1}{x_2}-4）}}{{{x_1}{x_2}}}$，
因?yàn)閤₁-x₂＜0，x₁x₂＞4，所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在[2，+∞）上是增函數(shù)．
（3）因?yàn)閒（x）在[2，+∞）上是增函數(shù)，[3，4]⊆[2，+∞），所以f（x）在[3，4]上是增函數(shù)，
∴$f{（x）_{max}}=f（4）=5，f{（x）_{min}}=f（3）=\frac{10}{3}$，∴f（x）的值域?yàn)?[{\frac{10}{3}，5}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷方法，函數(shù)的單調(diào)性的定義和證明方法，利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域，屬于中檔題．