Question

8．三棱錐D-ABC中，AB=CD=$\sqrt{6}$，其余四條棱均為2，則三棱錐D-ABC的外接球的表面積為7π．

Answer 1

分析 分別取AB，CD的中點E，F(xiàn)，連接相應的線段，由條件可知，球心G在EF上，可以證明G為EF中點，
求出球的半徑，再求球的表面積．

解答 解：分別取AB，CD的中點E，F(xiàn)，
連接相應的線段CE，ED，EF，
由條件，AB=CD=$\sqrt{6}$，
BC=AC=AD=BD=2，
可知△ABC與△ADB，
都是等腰三角形，
AB⊥平面ECD，∴AB⊥EF，
同理CD⊥EF，
∴EF是AB與CD的公垂線，
球心G在EF上，
可以證明G為EF中點，（△AGB≌△CGD）
DE=$\sqrt{{2}^{2}{-（\frac{\sqrt{6}}{2}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，DF=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，EF=$\sqrt{{（\frac{\sqrt{10}}{2}）}^{2}{-（\frac{\sqrt{6}}{2}）}^{2}}$=1，
∴GF=$\frac{1}{2}$，
球半徑DG=$\sqrt{{（\frac{1}{2}）}^{2}{+（\frac{\sqrt{6}}{2}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴外接球的表面積為4π×DG²=7π．
故答案為：7π．

點評 本題考查了球的內接幾何體以及球的表面積問題，也考查空間想象能力與計算能力．