Question

三位同學(xué)在研究函數(shù)f（x）=

x

1+|x|

（x∈R）時(shí)，分別給出下面三個(gè)結(jié)論：
①函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?1，1）；②若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂）；③若規(guī)定f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f[f_n（x）]，則f_n（x）=

x

1+n|x|

對(duì)任意n∈N^*恒成立．
你認(rèn)為上述三個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)有（　　）

• A、0個(gè)
• B、1個(gè)
• C、2個(gè)
• D、3個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域,函數(shù)恒成立問題

專題：壓軸題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先求出f（x）為奇函數(shù)，再求出x＞0時(shí)的函數(shù)值，然后利用奇函數(shù)的性質(zhì)求出f（x）的值域；由函數(shù)的單調(diào)性能判斷結(jié)論②的正誤；用數(shù)學(xué)歸納法能判斷③的正誤．

解答： 解：∵f（x）=

x

1+|x|

（x∈R），
∴f（-x）=

-x

1+|-x|

=-

x

1+x

，
∴f（x）是奇函數(shù)，
x＞0時(shí)，f(x)=

x

1+x

=

1+x-1

1+x

=1-

1

1+x

∈(0，1)且f（x）單調(diào)遞增，
∴由奇函數(shù)的對(duì)稱性可知函數(shù)的值域?yàn)椋?1，1），
∵函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)，
∴當(dāng)x₁≠x₂，有f（x₁）≠f（x₂）；
f2(x)=f(f1(x))=

x 1+|x|

1+ x 1+|x|

=

x

1+2|x|

，
f3(x)═

x

1+3|x|

，
假設(shè)fn(x)=

x

1+n|x|

，
用由數(shù)學(xué)歸納法證明：
①n=3時(shí)，f3(x)═

x

1+3|x|

，成立．
②假設(shè)n=k時(shí)成立，即fk(x)=

x

1+k|x|

，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，f_k+1（x）=f（f_k（x））=

x 1+k|x|

1+| x 1+k|x| |

=

x

1+(k+1)|x|

，也成立，
∴fn(x)=

x

1+n|x|

．
所以三個(gè)結(jié)論都成立，
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的靈活運(yùn)用，注意數(shù)學(xué)歸納法的合理運(yùn)用．