Question

【題目】

對于各項均為整數(shù)的數(shù)列，如果(=1，2，3，…)為完全平方數(shù)，則稱數(shù)

列具有“性質(zhì)”．

不論數(shù)列是否具有“性質(zhì)”，如果存在與不是同一數(shù)列的，且同

時滿足下面兩個條件：①是的一個排列；②數(shù)列具有“性質(zhì)”，則稱數(shù)列具有“變換性質(zhì)”．

（I）設數(shù)列的前項和，證明數(shù)列具有“性質(zhì)”；

（II）試判斷數(shù)列1，2，3，4，5和數(shù)列1，2，3，…，11是否具有“變換性質(zhì)”，具有此性質(zhì)的數(shù)列請寫出相應的數(shù)列，不具此性質(zhì)的說明理由；

（III）對于有限項數(shù)列：1，2，3，…，，某人已經(jīng)驗證當時，

數(shù)列具有“變換性質(zhì)”，試證明：當”時，數(shù)列也具有“變換性質(zhì)”．

Answer 1

【答案】（I）證明見解析．（II）數(shù)列1，2，3，4，5具有“變換P性質(zhì)”，數(shù)列為3，2，1，5，4．數(shù)列1，2，3，…，11不具有“變換P性質(zhì)”理由見詳解；（III）證明見解析．

【解析】

（I）當時，

又．

所以是完全平方數(shù)，

數(shù)列具有“P性質(zhì)”

（II）數(shù)列1，2，3，4，5具有“變換P性質(zhì)”，

數(shù)列為3，2，1，5，4

數(shù)列1，2，3，…，11不具有“變換P性質(zhì)”

因為11，4都只有5的和才能構(gòu)成完全平方數(shù)

所以數(shù)列1，2，3，…，11不具有“變換P性質(zhì)”

（III）設

注意到

令

由于，

所以

又

所以

即

因為當時，數(shù)列具有“變換P性質(zhì)”

所以1，2，…，4m+4-j-1可以排列成

使得都是平方數(shù)

另外，可以按相反順序排列，

即排列為

使得

所以1，2，可以排列成

滿足都是平方數(shù).

即當時，數(shù)列A也具有“變換P性質(zhì)”