Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=ae^x（x+2），g（x）=x²+bx+2，已知它們?cè)趚=0處有相同的切線．
（1）求函數(shù)f（x），g（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）在[t，t+1]（t＞-4）上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)函數(shù)，利用兩函數(shù)在x=0處有相同的切線，可得3a=b，f（0）=2a=g（0）=2，即可求函數(shù)f（x），g（x）的解析式；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，再分類討論，即可求出函數(shù)f（x）在[t，t+1]（t＞-4）上的最小值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=ae^x（x+2），g（x）=x²+bx+2
可得f'（x）=ae^x（x+3），g'（x）=2x+b，
由題意，兩函數(shù)在x=0處有相同的切線．
∴f'（0）=3a，g'（0）=b，
∴3a=b，f（0）=2a=g（0）=2，
∴a=1，b=3，
∴f（x）=e^x（x+2），g（x）=x²+3x+2；
（2）f'（x）=e^x（x+3），由f'（x）＞0得x＞-3，由f'（x）＜0得x＜-3，
∴f（x）在（-3，+∞）單調(diào)遞增，在（-∞，-3）單調(diào)遞減，
∵t＞-4，∴t+1＞-3，
①當(dāng)-4＜t＜-3時(shí)，f（x）在[t，-3]單調(diào)遞減，[-3，t+1]單調(diào)遞增，
∴f（x）的最小值為f（-3）=-e^-3；
②當(dāng)t≥-3時(shí)，f（x）在[t，t+1]單調(diào)遞增，
∴f（x）的最小值為f（t）=e^t（t+2）．
∴綜上可得，當(dāng)-4＜t＜-3時(shí)，f（x）的最小值為-e^-3；
當(dāng)t≥-3時(shí)，f（x）的最小值為e^t（t+2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．