Question

3．已知函數f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x，g（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x，記函數h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），f（x）≤g（x）}\\{g（x），f（x）＞g（x）}\end{array}\right.$，則不等式h（x）≥$\frac{1}{2}$的解集為（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

Answer 1

分析 確定f（x）與g（x）的圖象交點的橫坐標的范圍，作出函數h（x）的圖象，即可得到結論．

解答 解：記f（x）與g（x）的圖象交點的橫坐標為x=x₀，
∴f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜1=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1}{2}$=g（$\frac{1}{2}$），
∴x₀∈（$\frac{1}{2}$，1）．
由于f（x）與g（x）均為減函數，
∴h（x）為減函數，
∵h（x）≥$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$^x≥$\frac{1}{2}$=（$\frac{1}{2}$）¹，
∴x＜1，
∵log${\;}_{\frac{1}{2}}$x≥$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1}{2}$=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴0＜x≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
綜上所述不等式的解集為（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
故答案為：（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]

點評 本題考查新定義，考查不等式的解法，考查數形結合的數學思想，屬于中檔題．